H S. Le vä nen. 



Ex. 8. Om a + h + r = o och x + y + z — o, är o« + by + cz = S(hm + kl), 0111 «, b, c uttryckas i 

 h och k samt x, y, e i l och to. 



Ex. 9. Om a + b + c + d = o och .r +■ y + z+u = o, är fir.r + b.;/ + c« -i- d« = 4 ( hm + kn + fyi), om 

 a, i*, c, d uttryckas i h, k, l samt .r, y, z, u i to, ii, p. 



Ex. 10. Om a + b + c -t-d + e = o och i + ji + n»4«=B, är <&» + by + cz + du, + ev = 5{hr + 

 kq + lp + mn), om a, b, c, d, e uttryckas i h, k, 1, m samt x, y, z, u, v i «, p, q, r. 



Ex. 11. &(ax + by + czf- 3 (ax + by + ee)(a* + b 2 -t- f 2 )(.r 2 + y"- + z 2 ) - 2(« - b)(& - c)(e -«)(./■ - 

 — y)(y — *)(* — aO = Siabc.ryz, i fall fl -+■ b + c = o och œ + î/ + z = o. 



Den intressantaste användning, som kan göras af formlerna (1) - (6), är 

 en symmetrisk lösning af likheter. Därmed förstås en lösningsmetod, " livarvid 

 likhetens samtliga rötter, bortsedt från vissa bekanta koefficienter, äro på 

 lika sätt medvärkande, under det en substitutionsmetod består däruti, att inan 

 söker satisfiera en till lösning förelagd likhet med ett uttryck af hypotetisk 

 form, medan slutligen en typmetod, som jämväl är symmetrisk, utgår från någon 

 osymmetrisk rationell expression af rötterna, hvars värde varieras genom per- 

 mutation af rötterna på alla möjliga sätt och de sålunda erhållna värden be- 

 tracktas som rötter till en likhet, hvars koefficienter blifva rationella funktioner 

 af den gifna likhetens koefficienter. Hvarje metod ger upphof till en eller 

 fiere nya likheter, kallade resolventer, af hvilkas rötter den gifna likhetens 

 rötter äro kända funktioner. Vi skola likväl i det följande éludera hvarje 

 resolvent, i det vi fullfölja vår metod tils de sökta rötterna framträda i cx- 

 plicit form. 



Om rötterna till likheten 



x" + a 1 x n ~ 1 + a 2 x"-' 2 + ■■ + a„ = o 

 betecknas med x t , x % , •••«„, är, såsom bekant, 



Ex^ = a 2 , 

 2x x x„x 3 = — a 3 , 



x x x 2 ■■■x„ = ± a„, 



på livilka relationer emellan rötterna och koefficienterna till en likhet hvarje 

 symmetrisk lösningsmetod väsentligen grundar sig. 



Likheten af 2-dra graden. 

 r. 2 + 2px + q = o, 



x v x 2 = q. 



(a) x x + <e B = - 2p, 



