En symmetrisk lösning af likheter af 2-dra, 3-dje och 4-de graden. 9 



Anm. Af formlerna (i) ses, att rotformeln till en likhet af 3-dje graden 



är af formen x = A + } B + \' C + J/ B — \, C, däri A. B och G äro rationella 

 funktioner af likhetens koefficienter. Till denna form för en rot kan man 

 komma à priori genom likhetsteoretiska betraktelser och man bestämmer sedan 

 genom substitution eller ock på ett symmetriskt sätt de tre obekanta talen 

 A, B och C. Därigenom undvikes bildandet af hvarje resolvent af högre 

 grad än den första. 



Den sedvanliga „diskussionen af rötterna" förbigå vi här liksom ock vid 

 lösandet af den följande likheten. 



(a) 



Likheten af 4-de graden. 



.'•'+ ipx 3 + I2r/.r 2 + 24>\r + 12s = o, 



2x= - 4p, 

 2x x x = I2q, 

 -•' ,-'\,'' 3 = - 24r, 

 x^\x,x = 12*. 



Alldenstund :c t -\- p. x t + p, v s + p och a\+ p äro fyra tal, hvilkas summa = o, 

 sätta vi 



x t +p = h + k + l, 



x^+p =h — k- l, 



X s + p = - h - />■ + /. 



[x t +p = -h + Jc-l, 



(b) 



hvaraf återfås 



2%,+ 4p = o. 



Multiplicera vi likheterna (b) med hvarandra två och två, ?> och 3 och taga 

 hvar gång summan af resultaten samt hopmultiplicera slutligen de 4 likheterna 

 erhålla vi efter hand 



hvaraf 



(c) 

 samt 



eller 

 (d) 



2x,x s + p. dSx x + 6jtr= - 2(F+ F+ P) (5), 

 1 2q - 1 2p 2 + 6p 2 = - 2{h*+ Jr+ V), 



h i +F+F=3(p*-2q), 



-■'\- r , x 3 +P- 22^,.v +/r. 327a;, + ép 3 = Shld (5), 

 - 24/- + 24pq - 12^ 3 + 4p 3 = 8hM, 



Jikl= -p 3 + 3pq- 3r 



