14 S. Levänen. 



och Bertrand 1 . De fyra obekanta talea k, k, l, m äro rötter till en likhet 

 af 120-de graden, hvilken erhålles, om tre bland dem elimeneras ur i fråga 

 varande likheter. Betraktar man emellertid h% k\ 1% m 5 såsom de obekanta, 

 tryckes denna likhet ned till 24-de graden, hvilken åter kan ersättas af en 

 likhet af fjärde graden, hvars koefficienter bero af en likhet af sjätte graden 

 med rationella koefficienter (högra membra i förenämda likheter äro näml. 

 sex-värdiga funktioner, med undantag af lim + kl, som är tre-värdig, och kunna 

 rationelt uttryckas genom hvarandra). Denna likhet af 6-te graden, af hvars 

 rötter man behöfde känna endast en, för öfrigt hvilken som hälst, är emeller- 

 tid algebraiskt olösbar. Omöjligheten att algebraiskt, d. v. s. medels radi- 

 kaler lösa en allmän likhet af 5-te eller af ännu högre grad beror, enligt 

 den anförda satsen af Cauchy och Bertrand, därpå, att af 5 eller flere själf- 

 ständiga argument icke kan bildas en rationell funktion, hvilken genom alla 

 möjliga permutationer af argumenten skulle antaga endast tre eller fyra olika 

 värden, hvarigenom bildandet af en algebraiskt lösbar resolvent af tredje eller 

 fjärde graden omöjliggöres. I ett innerligt samband härmed står jämväl den 

 omständigheten, att af 5 eller flere argument icke kan bildas någon rationell 

 och mer än två-värdig funktion, hvaraf en potens (med heltalig exponent) 

 vore en två-värdig funktion ock därför uttryckbar medels kvadratroten ur en 

 symmetrisk eller en-värdig funktion, och hvarigenom omöjliggöres uppbyggan- 

 det af en algebraisk expression, bildad af likhetens koefficienter, hvilken skulle 

 satisfiera likheten. Detta s. k. Abels' omöjlighetsbevis fins särdeles klart och 

 utförligt framstäldt, enligt Kroneckek's föreläsningar, i SubstitutionentJieorie und 

 ihre Anwendung auf die Algebra von Eugen Netto, Leipzig 1882. 



Handbuch der Höheren Algebra von J. A. Serret, Leipzig 1868, II Bd. p. 314. 



