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miissen umgekehrt Vektorlinien sein, wenn sie nicht ausnahmsweise Null- 
linien des Feldes sind. Der von einer röhrenförmigen Vektorflåche be- 
grenzte Teil des Feldes heisst eine Vektorröhre. 
2. Linienintegral und Flächenintegral eines Vektors. — Zwei 
Integralausdriicke haben für die Diskussion eines Vektorfeldes eine her- 
vorragende Bedeutung: Das Linienintegral des Vektors, welches das 
Linienintegral längs einer Kurve s von der zur Kurve tangentiellen Vektor- 
komponente bedeuten soll; und das Flåchenintegral des Vektors, welches 
das Integral über eine Fläche o von der zur Fläche normalen Vektor- 
komponente bedeuten soll. Dieses Integral wird auch der Vektorfluss 
durch die Fläche o genannt. 
Die Komponenten des Vektors U längs der drei rechtwinkligen 
Achsen x, y, r werden wir durch U,, U,, U, bezeichnen, und ähnlich soll 
die Komponente längs der Tangente einer Kurve s mit U;, und die 
Komponente längs der Normale einer Fläche o durch U, bezeichnet 
werden. 
Der Ausdruck des Linienintegrales wird dann mit abgekürzter Vektor- 
bezeichnung, oder mit expiiciter kartesischer Bezeichnung 
(a) | U;ds oder | Ur dx + U,dy + U,dz. 
Dieses Linienintegral verschwindet identisch längs jeder Kurve, welche 
normal zu den Vektorlinien des Feldes verlauft, und ausserdem längs 
jeder Nulllinie des Feldes. Wenn umgekehrt das Linienintegral längs 
jedem Teil einer gewissen Kurve verschwindet, so sind wir im all- 
gemeinen berechtigt zu schliessen, dass dieselbe eine Normalkurve der 
Vektorlinien ist. Partikulär wird es aber auch vorkommen können, dass 
sie eine Nullkurve des Feldes ist. 
Der Ausdruck des Flächenintegrales unsres Vektors über die Fläche o 
wird mit unsren zwei Bezeichnungen 
(b) [0.0 oder || U, dy dz + U,, de dx + U, dx dy. 
Dieses Integral verschwindet identisch für jeden Teil einer Vektor- 
fliche, und ausserdem für jede Nullflåche des Feldes. Und umgekehrt, 
wenn der Vektorfluss fiir jeden beliebig begrenzten Teil einer gewissen 
Fläche verschwindet, so muss sie im allgemeinen eine Vektorfläche sein. 
Partikulär kann es aber auch vorkommen, dass sie eine Nullfläche des 
Feldes ist. 
