8 V. BJERKNES. M.-N. Kl. 
5. Die Wirbeleigenschaften des Vektorfeldes. — Die Bedingungen 
fiir die Reduktibilitat des Linienintegrales auf die einfach skaläre Form 
(4, c) ist bekanntlich das Verschwinden såmmtlicher Wirbelkomponenten 
(2, d), so dass die Relationen 
ENE aU; 100, a7, _ 00, 
(a) =——=0 ——-——0 —<—-——0 
dy og 3 ox ox dy 
bestehen. Und umgekehrt, wenn diese Ausdriicke verschwinden, so ist 
die Reduktion möglich. Diese Bemerkung giebt den bekannten Funda- 
mentalsatz : 
(A). Fedes einfach skalåre oder potentielle Vektorfeld ist wirbelfrei; 
und umgekehrt: jedes wirbelfreie Vektorfeld ist ein potentielles oder 
einfach skaläres Feld. 
Stellt man die Bedingungen von der Form (a) auf, welche erfüllt 
werden müssen, damit 
yp Wad + Uydy + Vida = dy 
ein vollständiges Differential sei, und eliminiert nachher die Hilfsgrösse y, 
so findet man die Gleichung 
AU, 90, aU, aU, aU, OÙ) _ 
0) JE a Le = =) hd = a = 
als notwendige und hinreichende Bedingung für die Reduktibilität des 
Linienintegrales auf zweifach skaläre Form. Diese Gleichung sagt aus, 
dass der Wirbel # auf dem primären Vektor U senkrecht steht. Dem 
Satze (A) über einfach skalären Vektorgrössen entspricht also der fol- 
gende, welcher eine neue Definitionseigenschaft der zweifach skalären 
Vektorgrössen enthält: 
(B). Fede zweifach skaläre Vektorgrösse steht auf ihrem Wirbel 
senkrecht; und umgekehrt: jeder Vektor, welcher auf seinem Wirbel 
senkrecht steht, ist eine zweifach skaläre Vektorgrösse. 
Gehen wir endlich zu dem Falle eines dreifach skalären Vektors über, 
so ist der zugehörige Wirbel keinen beschränkenden Bedingungen unter- 
worfen; der primäre Vektor und der Wirbel können einander unter be- 
liebigem Winkel schneiden, und dieser Winkel wird im allgemeinen von 
Punkt zu Punkt veränderlich sein. 
6. Allgemeinste dreifach, zweifach und einfach skaläre Darstel- 
lungsform von Vektorgrössen. — Bei der kartesischen Darstellungsform 
einer Vektorgrösse wird die zweifach oder einfach skaläre Natur des 
Vektors meistens vertilgt. Man wird deshalb im allgemeinen genötigt 
