18 V. BJERKNES. 
M.-N. KI. 
stellen unmittelbar die dreifach skalåren Vektorgrössen U und U als die 
Superpositionsresultate von drei von einander unabhängigen zweifach skalären 
Vektorgrössen dar, deren jede in der oben entwickelten solenoidalen 
Weise dargestellt werden kann. Diese zweifach skalären Vektorfelder 
haben die von einander verschiedenen Wirbellinien (4, a), (6, 2), (c, y). 
Durch Superposition erhält man das Wirbelfeld x oder #’. 
Wir können diese Repräsentation als eine zelluläre bezeichnen. Die 
drei Hülfsvektoren Va, Vp, Vy sind die drei reciproken Höhen der 
parallelepipedischen Zellen, welche durch die repräsentativen Flächenscharen 
(a), (3), (y) bestimmt werden. Die durch dieselbe Gegend passierenden 
äquiskalären Flächen (a), (4), (c) geben die Faktoren a, 6, c, mit welchen 
diese Hülfsvektoren zu multiplicieren sind, ehe sie nach dem gewöhnlichen 
Gesetze der Vektoraddition zusammengesetzt werden. 
Wenn das dreifach skaläre Feld (a, 8, y) in ein zweifach skaläres 
degeneriert, so muss der Vektor U, und folglich auch der konjugierte 
Vektor U, in zweifach skaläre Vektoren degenerieren. Aehnlich schliesst 
man wegen der vollkommenen Symmetrie, dass die Degeneration des 
skalären Feldes (a, d, c) die Degeneration des Vektors ©”, und folglich 
auch des Vektors U, veranlassen muss. 
Die Zellen gehen dann in Solenoide über und geben die solenoidale 
Darstellung des degenerierten, jetzt zweifach skalären Vektorfeldes. 
In ähnlicher Weise wird die Degeneration des zweifach skalären 
Feldes («, 2) oder (a, 4) oder (y, w) (Formeln 13, a oder c) die Degeneration 
der zweifach skalären Vektorgrössen in einfach skaläre veranlassen. Das 
degenerierte skaläre Feld wird dabei die lamelläre Repräsentation des 
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degenerierten Vektorfeldes geben. 
III. Invarianteigenschaften des Linienintegrales einer 
Vektorgrösse. 
15. Solenoidale Variationen einer Kurve. — Es sei im Felde eine 
Kurvenschar (S) solenoidaler Natur (3) gegeben, also beispielsweise eine 
Schar von Wirbellinien oder eine Schar von zweifach åquiskalåren Kurven. 
Eine beliebige Kurve s erleidet eine Variation solenoidaler Natur, wenn 
sie sich, unter Erhaltung ihrer Kontinuitåt, in solcher Weise bewegt, 
dass jeder ihrer Punkte längs einer Kurve der Schar (S) gleitet. Diese 
Variationen können, je nach der Natur der Kurvenschar (S), beispielsweise 
als Vektorlinienvariation, Wirbellinienvariation oder zweifach äquiskaläre 
Variation bezeichnet werden. 
