1898. No. 4. ZUR THEORIE GEWISSER VEKTORGRÖSSEN. 21 
Kurven vereinigen kann, immer nur vorausgesetzt, dass die Feldgrenzen 
kein Hindernis fiir die Variationen bilden. 
Wir werden aber im folgenden auf keine Verallgemeinerungen dieser 
Natur Riicksicht nehmen. Der Kiirze halber werden wir immer so räson- 
nieren, als ob jede Kurve s, und s, einmal und nur einmal getroffen wird 
von jeder Kurve des Systemes (S), welche sie überhaupt trifft. Dass die 
unter diesen Voraussetzungen abgeleiteten Sätze auch bei der verallge- 
meinerten Definition unserer Variation ihre Giiltigkeit bewahren, davon wird 
man sich in jedem einzelnen Falle leicht überzeugen können. 
18. Solenoidale Variation, welche das Linienintegral eines Vek- 
tors längs einer Kurve mit festen Endpunkten unverändert lasst. — 
Wir denken uns ein beliebiges Vektorfeld gegeben, und in diesem Felde soll 
eine beliebige Kurvenschar (S) solenoidaler Natur gegeben sein. Wir 
werden die Eigenschaften untersuchen, welche die Kurvenschar in Bezug 
auf das Vektorfeld oder das Vektorfeld in Bezug auf die Kurvenschar 
haben muss, damit das Linienintegral des Vektors längs einer Kurve s un- 
verändert bleibe, wenn die Kurve s eine beliebige Variation längs den 
Kurven der Schar (5) ausführt. 
Die gegenseitigen Relationen des Vektorfeldes und der Kurvenschar 
(S) zu einander sind mehr oder weniger eng, je nachdem die Invarianz 
des Integrales sich nur auf Kurven mit festen Endpunkten oder zugleich 
auf Kurven mit beweglichen Endpunkten bezieht. 
Es bleibe also zuerst das Integral nur dann unverändert, wenn die 
Kurve s, unter Festhaltung ihrer Endpunkte, eine Variation (S) ausführt. 
Zwei Lagen der Kurve s werden dann zusammen eine geschlossene Kurve 
bilden, welche relativ zu den Kurven (5) nicht-gürtelförmig verläuft; und 
da die Integrale längs den beiden Kurven s gleich sind, und also bei 
Umlauf der beiden Kurven nach einander, als Teile einer geschlossenen 
Kurve, entgegengesetzt gleich werden, so verschwindet das Integral 
identisch längs dieser geschlossenen Kurve. Da man sich weiter alle 
Kurven, welche relativ zu den Kurven (S) und relativ zu den Feldgrenzen 
nicht Gürtelkurven sind, in dieser Weise gebildet denken kann, so schliesst 
man, dass das Linienintegral längs jeder geschlossenen, nicht gürtelförmig 
verlaufenden Kurven verschwinden muss. 
Setzen wir jetzt umgekehrt voraus, dass das Linienintegral längs jeder 
nicht gürtelförmig verlaufenden Kurve verschwindet. Die Variation (5) 
einer beliebigen Kurve s mit festen Endpunkten wird dann den Wert des 
Integrales unverändert lassen. Denn zwei Lagen s, und s, der Kurve s 
bilden zusammen eine geschlossene, nicht gürtelförmig verlaufende Kurve, 
