22 V. BJERKNES. 
M.-N. Kl. 
längs welcher das Integral verschwindet, woraus man nach der gewöhn- 
lichen Umkehrung der positiven Fortschrittrichtung auf einer Kurve, auf 
die Gleichheit der Integrale längs den Kurven s, und s, schliesst. 
19. Solenoidale Variation, welche das Linienintegral längs einer 
geschlossenen Kurve unverändert lässt. — Bemerken wir noch, dass die 
3edingung von der Invarianz des Linienintegrales längs einer Kurve mit 
Festen Endpunkten, mit der Bedingung von der Invarianz längs jeder ge- 
schlossenen Kurve gleichwertig ist. 
Aus der Unveränderlichkeit des Integrales längs einer geschlossenen 
Kurve, welche eine Variation (S$) erleidet, schliesst man nämlich sofort, 
dass der Integralwert Null ist für jede geschlossene Kurve, welche nicht eine 
Giirtelkurve in Bezug auf die Kurven (S) und die Feldgrenzen ist. Denn 
eine solche Kurve kann durch die Variation (S) in eine zwischen zwei 
Endpunkten hin- und zurücklaufende Doppelkurve verwandelt werden, 
längs welcher das Integral selbstverständlich verschwindet. 
Und umgekehrt, aus dem Verschwinden des Integrales längs den nicht 
gürtelformig verlaufenden Kurven schliesst man leicht auf die Invarianz 
des Integrales bei jeder Variation (S) der geschlossenen Kurven. Zwei 
Lagen sı und sa der variirenden geschlossenen Kurven lassen sich nämlich 
immer durch Hinzufügen einer dem Systeme (S) gehörenden Doppelkurve 
zu einer einzigen Kurve verwandeln, welche nicht gürtelförmig verlauft. 
Da das Integral jetzt längs dieser, so wie längs der zu Hülfe genommenen 
Doppelkurve, verschwindet, schliesst man unmittelbar auf die entgegen- 
gesetzte Gleichheit, oder nach Umkehrung einer Integrationsrichtung auf 
die direkte Gleichheit der Integrale längs den beiden Kurven sy und s. 
20. - Solenoidale Variation, welche das Linienintegral längs einer 
Kurve mit beweglichen Endpunkten unverändert lässt. — Nehmen wir 
jezt weiter an, dass das Linienintegral längs der Kurve s auch dann un- 
verändert bleiben soll, wenn die Endpunkte der Kurve in der Variations- 
bewegung längs den Kurven (5) teilnehmen. Die Invarianz des Integra- 
les besteht dann selbstverständlich auch, wenn die Bewegung der End- 
punkten Null ist, so dass die obigen Schlüsse und Rückschlüsse über die 
Relationen des Feldes und der Kurvenschar (S) zu einander gültig bleiben. 
Diese Relationen werden aber jetzt durch eine neue Bedingung verengt, 
die man sofort findet, wenn man die Kurve s ihre Variationsbewegung 
mit einem festgehaltenen und einem freien Endpunkt ausführen lässt. 
Das letzte wird eine Kurve der Schar (S) beschreiben, und diese Kurve 
in Verbindung mit den zwei Lagen sı und s, der Kurve s bilden zusam- 
