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1898. No. 4. ZUR THEORIE GEWISSER VEKTORGRÖSSEN. 
men eine geschlossene nicht gürtelförmig verlaufende Kurve, längs wel- 
cher das Integral also verschwinden muss. Längs demjenigen Teil dieser 
Kurve, welche aus sı und sg zusammen gebildet ist, verschwindet aber 
schon das Integral, so dass das Integral auch längs der Kurve S für sich 
verschwinden muss. Das Linienintegral des Vektors muss folglich in 
diesem Falle ausser der Eigenschaft, dass es längs einer nicht gürtelför- 
migen Kurve verschwindet, zugleich die Eigenschaft haben, dass es längs 
jeden Teiles jeder Kurve S verschwindet. 
Hat umgekehrt das Integral diese beiden Eigenschaften, so lässt die 
Variation (S) den Wert des Kurvenintegrales unverändert, sei es dass die 
Kurve s mit festgehaltenen oder freien Endpunkten variirt, wie man sich 
durch Umkehrung der obigen Ueberlegung leicht überzeugt. 
Das identische Verschwinden des Linienintegrales des Vektors längs 
einer Kurve (5), welche also hier die Relationen des Feldes und der 
Kurvenschar (S) präcisiert, ist mit der Bedingung identisch, dass der Vek- 
tor überall senkrecht zu den Kurven (S) gerichtet sein muss. 
21. Variation lamellärer Natur. — Setzen wir jetzt voraus, dass wir 
im Felde eine Flächenschar lamellårer Natur kennen, und dass die durch 
diese Flächen definierte Variation (16) den Wert des Linienintegrales un- 
verändert lässt. Auf diesen Flächen können wir dann zwei von einander 
verschiedene Kurvenscharen solenoidaler Natur zeichnen, und wir können 
sagen, dass wenn eine lamelläre Variation den Wert des Linienintegrales 
unverändert lässt, so kann man immer zwei von einander unabhängige 
solenoidale Variationen angeben, welche den Wert des Linienintegrales 
unverändert lassen. 
Nehmen wir so umgekehrt an, dass wir im Felde zwei von einander 
verschiedene Kurvenscharen solenoidaler Natur (S und S’) kennen, welche 
Variationen definieren, die den Wert des Integrales unverändert lassen. 
Wir können dann immer eine lamelläre Variation angeben, welche den 
Wert des Integrales unverändert lässt. Durch eine Reihe von Punkten 
der zu variierenden Kurve s können wir Kurven der ersten Schar (5) 
ziehen. Durch alle Punkte dieser Kurven (5) ziehen wir so Kurven der 
Schar (5°). Dadurch entsteht eine Schar von Flächen (X), welche offenbar 
lamellarer Natur ist. Und man überzeugt sich leicht, dass die Kurve s durch 
zwei Variationen solenoidaler Natur, erst längs den Kurven (S) und nachher 
längs den Kurven (5°) jede Lage erreichen kann, zu welcher sie durch be- 
liebige lamelläre Variationen längs den Flächen der Schar (3) gebracht werden 
kann. Und diese lamelläre Variation wird also genau wie die zwei suc- 
cessiven solenoidalen Variationen den Integralwert unverändert lassen. 
