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22. Konstanz des Linienintegrales eines Vektors bei Wirbel- 
linienvariation. — In jedem Vektorfelde stellen die Wirbellinien eine 
Kurvenschar solenoidaler Natur dar, og können deshalb Variationen de- 
finieren, auf welchen die obigen Bemerkungen verwendet werden können. 
3emerken wir erst, dass das Flächenintegral des Wirbels für jeden 
Teil einer bandförmigen Wirbelflåche verschwindet. Zeichnen wir also 
auf einer bandförmigen Wirbellläche eine beliebige geschlossene Kurve, 
so muss nach dem Theorem von Stokes das Integral des primären Vektors 
längs dieser Kurve verschwinden. Und nach der Definition der nicht 
gürtelförmigen Kurven (15) schliessen wir: 
Das Linienintegral eines Vektors verschwindet identisch längs jeder 
geschlossenen, in Bezug auf den Wirbellinien und den Grenzflächen des 
Feldes nicht gürtelförmig verlaufenden Kurve. 
Und aus diesem Satze folgt unmittelbar, nach den Bemerkungen der 
Abschnitte (18) und (19) als ein äquivalenter Satz: 
Das Linienintegral eines Vektors längs einer beliebigen Kurve s, 
welche entweder geschlossen ist oder feste Endpunkte hat, bleibt unver- 
ändert bei Wirbellinienvariation der Kurve s. 
Es lässt sich auch umgekehrt zeigen, dass die Wirbellinienvariation 
im allgemeinen die einzige Variation ist, welche diese Eigenschaft besitzt. 
Betrachten wir nämlich den Fall, dass wir im Vektorfelde eine Kurven- 
schar (5) kennen, wodurch eine Variation definiert ist, welche das Linien- 
integral des Vektors unverändert lässt. Längs jeder geschlossenen Kurve 
s, die relativ zu den Kurven (5) nicht gürtelförmig verläuft, muss dann das 
Linienintegral nach (18) und (19) verschwinden. Nach Stokes’s Theorem 
schliessen wir hieraus, dass das Flächenintegral des Wirbels identisch ver- 
schwinden muss für jede Fläche, welche diese Kurve s als Randkurve 
hat. Nach der Definition (15) wird es unter diesen Flächen eine Fläche ¥ 
geben, welche aus lauter Kurven S als Generatricen besteht. Wie auch 
die Kurve s variirt, so wird sie einen Teil dieser Fläche © begrenzen. 
Nach dem Theorem von Stokes schliesst man dann, dass das Flächen- 
integral des Wirbels für jeden Teil einer solchen Fläche verschwinden 
muss. Die Fläche © muss also entweder eine Nullflache des Wirbelfeldes 
oder auch eine Wirbelflache sein (2). Solange aber überhaupt ein Wirbel 
besteht, können nicht alle aus Kurven S generierbare Flächen X Null- 
flächen sein. Die Flächen © müssen also Wirbelflåchen sein. Als Schnitt- 
linien dieser Flächen können speciell die möglich vorhandenen Nulllinien 
des Wirbelfeldes auftreten, und sonst nur Wirbellinien (1). Die Kurven 5 
sind folglich die Wirbellinien des Feldes, und die entsprechende Variation 
eine Wirbellinienvariation. 
