1898, No. 4. ZUR THEORIE GEWISSER VEKTORGROSSEN. 
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Setzen wir so voraus, dass wir zwei verschiedene Kurvenscharen sole- 
noidaler Natur kennen. Dass die Kurvenscharen verschieden sind, lässt 
sich genauer so ausdrücken, dass ein Schneiden einer Kurve S und einer 
Kurve S‘ in jedem Punkte des Feldes stattfindet, von einigen ausgezeich- 
neten Punkten abgeschen, wo Berührung vorkommen darf. Lassen die 
Variationen längs „dieser beiden Kurvenscharen den Wert des Integrales 
konstant, so müssen nach dem Obigen die Kurven beider Scharen Wirbel- 
linien sein. Überall im Felde werden sich dann Wirbellinien schneiden, 
oder der Wirbel muss identisch Null sein (1). Wir sind also berechtigt zu 
schliessen: 
Solange der Vektor U einen Wirbel besitzt, ist die Wirbellinten- 
variation die einzige Variation, welche den Wert des Linienintegrales 
von U unverändert lässt. 
Lassen zwei von einender verschiedene Variationen (S) und (S‘) den 
Integralwert unverändert, so ist das Vektorfeld wirbelfrei. 
23. Die Wirbellinienvariation im zweifach skalären Vektorfelde. 
— Im zweifach skalären Vektorfelde steht der Vektor auf seinem Wirbel 
senkrecht, und das Linienintegral des Vektors verschwindet identisch 
längs jedem Theil einer Wirbellinie. 
Die obigen für alle Vektorfelder gültigen Eigenschaften können des- 
halb im Specialfalle des zweifach skalären Vektorfeldes durch die folgende 
ergänzt werden, in Folge der Ueberlegungen des Abschnittes (20): 
In dem zweifach und nur dem zweifach skalären Vektorfelde wird 
die Wirbellinienvariation den Wert des Integrales längs einer begrenzten 
Kurve auch dann unverändert lassen, wenn die Endpunkte der Kurve 
in der Variationsbewegung teilnehmen. 
Dieser Satz folgt auch ummittelbar aus dem Bau des zweifach skalä- 
ren Integrales (6, b). Die Wirbellinien sind nämlich in diesem Falle mit 
den zweifach äquiskalären Kurven identisch (13), und die Variation wird 
eine zweifach äquiskaläre genannt werden können. Betrachten wir so 
zwei Lagen sı und s2 der variierenden Kurve, so werden korrespondierende 
Punkte (15) gleiche Werte von « und 8, und folglich auch von @ und 6 
haben, während korrespondierende Elemente ds; und ds» gleiche Werte der 
Variationen da und 48 haben. Die beiden Integrale sind folglich Element 
für Element identisch, während der Satz im Falle der dreifach skalären 
Vektoren (22), wo die Kurve feste Endpunkte hat oder geschlossen ist, 
nur für den Gesammtwert des Integrales gültig ist. 
