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24. Lamelläre Variation im einfach skalären Vektorfelde. — 
Wenn die Variation längs zwei verschiedenen Kurvenscharen solenoidaler 
Natur den Wert des Integrales unverändert lisst, so muss das Vektorfeld 
nach dem letzten der Sätze (22) wirbelfrei sein. Weiter muss es dann nach 
(21) auch eine Variation lamellärer Natur geben, welche den Integral- 
wert unverändert lässt. Nach der allgemeinen Form (6,c) des einfach 
skalåren Integrales sieht man sofort, dass diese Variation eine Variation 
längs den Flächen der lamellären Flåchenschar « = konst. ist. Denn bei 
dieser Variation werden korrespondierende Punkte gleiche Werte von a 
und å, korrespondierende Elemente gleiche Werte von da haben. 
Die Konstanz des Linienintegrales bei dieser lamellären Variation 
ist, wie man unmittelbar sieht, nur eine andere Form des bekannten 
Satzes, dass das Linienintegral einer potentiellen Vektorgrüsse vom Inte- 
grationsweg unabhingig ist, solange die als Integrationswege benutzen 
Kurven durch kontinuierliche Variation vereinbar sind. 
Bei der Degeneration des zweifach skaliren Vektorfeldes entstehen 
einfach skalåre Vektorfelder, welche eindeutige oder mehrdeutige Poten- 
tiale besitzen können. Besonders muss hervorgehoben werden, dass die 
Eindeutigkeit der skalären Funktionen g und ı des unsprünglichen Feldes 
nicht geniigt um die Eindeutigkeit des Potentiales des degenerierten Fel- 
des zu sicheren. Ist nämlich der Raum mehrfach zusammenhängend und 
die Degeneration eine unechte (11), so überzeugt man sich sofort, dass das 
Potential des degenerierten Feldes mehrdeutig wird. 
25. Das Linienintegral des Vektors längs geschlossenen Kurven. 
— Beschränkt man sich auf die Betrachtung von geschlossenen Kurven, 
so lassen sich die obigen Sätze in einen einzigen zusammenfassen, welcher 
seiner Anschaulichkeit halber sehr zwechmässig ist. 
Wir können den Wirbel in einem beliebigen Vektorfelde durch Sole- 
noide repräsentieren, deren Querschnitte also das Flächenintegral Eins 
des Wirbels haben. Das Flichenintegral eines Wirbels über eine Fläche 
o, welche die Kurve s als Randkurve hat, wird dann einfach gleich die 
Anzahl der Wirbelsolenoide, welche die Kurve s umschliesst, und das 
Theorem von Stokes lässt sich durch den folgenden Satz ausdrücken: 
Das Linienintegral eines Vektors längs einer geschlossenen Kurve 
ist gleich der Anzahl der Wirbelsolenoide, welche von der Kurve 
gurtelformig umschlossen werden. 
Zu der Verwendung dieses Satzes in merfach zusammenhängenden 
Räumen ist eine Bemerkung zu machen. Eine in Bezug auf den Feld- 
grenzen gürtelförmig verlaufende Kurve wird allein nie die vollständige 
