1898. No. 5. UEBER DIE BILDUNG VON CIRKULATIONSBEWEGUNGEN. 11 
8. Degeneration des beschleunigenden Gradienten aut einfach 
skaläre Form. — In drei Fällen wird der beschleunigende Gradient zu 
einer einfach skalaren oder potentiellen Vektorgrösse degenerieren und 
also der Wirbel g verschwinden (V. 11 und 14): wenn der Druck konstant 
ist; wenn die Dichte konstant ist; und endlich, wenn zwischen Dichte 
und Druck eine Relation besteht. 
Während einer beliebigen Bewegung kann natürlich eine dieser Be- 
dingungen momentan als erfüllt auftreten. Verlangen wir aber, dass der 
Degenerationszustand in Folge einer Flüssigkeitseigenschaft dauernd be- 
stehen soll, so können wir sofort von dem ersten Falle, der Konstanz 
des Druckes und dem daraus folgenden Verschwinden des Gradienten und 
des beschleunigenden Gradienten absehen. Die beiden anderen Degene- 
rationsbedingungen können dagegen von gewissen natürlichen Flüssig- 
keiten mit grosser Annäherung erfüllt werden, so dass wir berechtigt 
werden uns Flüssigkeiten mit solchen idealen Eigenschaften vorzustellen, 
dass diese Bedingungen exakt erfüllt sind. Diese Flüssigkeiten sind die 
homogenen inkompressiblen, wo die Dichte g von Koordinaten und Zeit 
unabhängig ist, und die homogenen idealkompressiblen Flüssigkeiten, 
wobei man die Temperatur in der zwischen Dichtigkeit und Druck be- * 
stehenden Relation nicht berücksichtigt. Der beschleunigende Gradient 
degeneriert also zu einer einfach skalären oder potentiellen Vektorgrösse 
mit eindeutigem Potential gerade bei den Flüssigkeiten, wo man die 
Gesetze von der Erhaltung der Cirkulations- und Wirbelbewegungen 
konstatiert hat, und sonst im allgemeinen nicht. Unsere Untersuchung 
wird sich also wesentlich auf den allgemeinen Fall beziehen, wo der 
beschleunigende Gradient ihre zweifach skaläre Natur bewährt. 
Ein in den Anwendungen besonders interessanter Fall ist auch der- 
jenige der unechten Degeneration in mehrfach zusammenhängenden Räu- 
men (V. 11): die Dichte kann überall als eine Funktion des Druckes 
auftreten, aber diese Funktion kann, beispielsweise in Folge eines er- 
zwungenen Temperaturzustandes, in verschiedenen Kanälen des Raumes 
verschiedene Form haben. Der beschleunigende Gradient wird auch 
dann im ganzen Felde wirbelfrei; das Potential desselben wird aber ein 
mehrdeutiges. 
9. Die Tangentialbeschleunigung einer Flüssigkeitskurve. — Die 
drei Bewegungsgleichungen (5, c) können wir durch die einzige Vektor- 
gleichung 
(a) U=FLG 
