4 ALF GULDBERG. M.-N. KI. 
Une pensée qui se présentait naturellement était, au lieu des équa- 
tions aux différentielles totales linéaires, de considérer des équations aux 
différentielles totales d’un degré plus haut: 
0 ay an 
4 Pa tg ++ Un dx dx» ELG dx, = 0, > u == 
où les P sont des fonctions de 4% %2..%,.- 
Euler déja avait considéré de telles équations différentielles, mais 
ce fut Monge qui reconnut d’abord leur importance, ce qui est constaté 
dans les beaux travaux de M. Sophus Lie. La généralisation suivante 
dans la théorie des équations aux diftérentielles totales consista dans 
la considération des systèmes des équations aux différentielles totales 
linéaires, sujet qui a été traité dans les mémoires de M.M. Azermann, 
Engel, Frobenius, Voss et autres. 
Dans les lignes qui suivent nous nous occuperons d’un autre point 
de cette vaste théorie. Nous traiterons des équations aux différentielles 
totales de second ordre, et nous nous bornerons aux équations aux diffé- 
rentielles totales de second ordre de la forme: 
Gd?z + Adz? + Bdy? + Cds? + Daxdy + Edxdz + Fdydz = 0, 
ou Å D 26 G sont des fonctions de rie 
Dans la théorie des équations aux différentielles linéaires, on a deux 
cas distincts: l'équation aux différentielles totales donnée est complète- 
ment intégrable ou non-intégrable. Dans la théorie des équations aux 
differentielles totales de second ordre, les circonstances sont un peu diffé- 
rentes. Il existe chez ces dernières équations trois cas essentiellement 
différents. On peut les énoncer comme il suit: 
r. L’équation aux différentielles totales de second ordre est complète 
ment intégrable, c'est à dire que l'équation aux différentielles totales 
donnée est dérivée d'une équation f(x, y, z) = 0. 
2. L’équation aux différentielles totales de second ordre est 27com- 
plètement intégrable, c'est à dire que l'équation aux différentielles 
totales donnée possède une intégrale intermédiaire non-intégrable 
OLD aya 2) — 10 
3. L'équation aux differentielles totales de second ordre est mon-znté- 
grable, c’est à dire qu’il n’existe pas d’integrale intermédiaire. 
