1898. No. 11. SUR LA THEORIE DES EQUATIONS ETG. 15 
On pourrait continuer ces recherches en considérant des équations 
«improprement» exactes aux différentielles totales, c'est a dire où l’&quation 
donnée (I), multipliée par un facteur dx dy dis, est égale a la diffé- 
rentielle totale d’une expression différentielle intégrable de premier ordre 
et de degré plus haut; mais ces examens qui n’offrent aucune difficulté 
théorique, nous conduiraient a trop de détails. 
$ 4. D’une classe d’equations aux différentielles totales 
de premier ordre. 
Dans la théorie des équations différentielles ordinaires, on sait 
que la connaissance de deux intégrales intermédiaires générales d’une 
équation différentielle de second ordre conduit à la détermination de 
la solution générale de l'équation donnée. S’appuyant sur cette proposition 
bien connue, Lagrange démontra, comme on sait, qu'il existe une grande 
classe d'équations différentielles ordinaires dont l'intégration n’exige que 
différentiation et élimination. 
Nous démontrerons ici que des propositions tout à fait analogues 
existent dans la théorie des équations aux différentielles totales. 
Remarquons d’abord que si f(x, y, 2) = 0 est une solution parti- 
culière de notre équation donnée: 
ID) Gd?z+ Adz? + Bdy* + Cdz* + 2Ddxdy + 2Edxdz + 2Fdydz =o, 
la solution générale est: 
F=f(xy, à + av + bye; 
ce qui se vérifie immédiatement. 
Considérons, pour fixer les idées, l’équation très simple: 
d? 2 + dxdy + dxdz =o. 
Nous avons: 
Nos équations donnent: 
D'ailleurs: 
d’où: 
P=y+ x + const. 
L'intégrale intermédiaire cherchée est donc: 
(y + 2-+ const) dx + dy + d =o. 
