16 ALF GULDBERG. M.-N. KI. 
Il suffit donc de trouver une solution particulière de l’équation 
donnée. 
Soient maintenant: 
w1 (x, y, 2, dx, dy, dz) — 0, wo (x, J, 2, dx, dy, dz) = 0 
deux intégrales intermédiaires intégrables essentiellement différentes de 
l'équation donnée (9: non dérivées de la même intégrale intermédiaire 
générale). 
En éliminant dz entre ces deux équations, nous obtiendrons une 
équation: 
SPs ay ©, 
homogène en dx et dy. Cette équation, existant pour toutes les valeurs 
de dx et dy, exige que ses coefficients soient égaux à zéro. 
Les équations ainsi obtenues sont des solutions de l'équation 
donnée !. 
Cela posé, nous démontrons facilement le théorème suivant: 
Etant données deux équations aux différentielles totales de premier 
ordre complètement intégrables : 
wı (%, 7, 2, dx, dy, di) =a et we (2, 9, 2, dx, dy, dz) = as 
qui, différentiées, donnent la même équation aux différentielles totales de 
second ordre de la forme (I), toute équation aux différentielles totales 
complètement intégrable de la forme: 
F (wı we) =0 
s'intègre sans intégration. 
Selon la proposition précédente, nous obtiendrons, par élimination 
de dz entre les équations 
01 = 1, O2 — A2, 
! Considérons, par exemple, l’équation: 
d2z — 2dxdy — 0. 
Deux intégrales intermédiaires intégrables sont: 
xdz — x?dy — zdx = 0 
yde — zdy — ydx = 0; 
en éliminant dz, on aura: 
(xy — xz) dy + (2y — xy?) dx =0, 
d’où l’on obtient comme solution partielle: 
8 — XY =O. 
La solution générale est: 
z= xy + ax Høy + ce. 
nt à 
