1898. No. 11. SUR LA THEORIE DES EQUATIONS ETC. 23 
système d’équations aux dérivées partielles qui est compatible, a cause 
des équations de condition récemment développées, et qui détermine 
par des quadratures la fonction inconnue 0. 
Comme nous l’avons indiqué en traitant les équations aux différen- 
tielles totales complètement intégrables, on peut avoir à considérer des 
équations dites «improprement» exactes; mais comme des recherches 
analogues au cas présent n’ont guère d'intérêt, nous ne nous y arréte- 
rons pas. 
3. Sur les intégrales intermédiaires non-linéaires. 
Nous avons vu qu'une équation aux différentielles totales de second 
ordre de la forme (1) ne posséde pas en général d’intégrale intermédiaire 
linéaire. Des remarques faites à la fin du paragraphe précédent, il résulte 
cependant qu'une équation aux différentielles totales de second ordre peut 
fort bien avoir des intégrales intermédiaires d’un degré plus haut. 
La formation des équations aux dérivées partielles qui déterminent 
une intégrale intermédiaire non-linéaire est théoriquement bien facile. 
Pour décider si l'équation aux différentielles totales : 
(1) Adx? + Bay? + Cdz? + Daxdy + Edxdz + Fdydz + Gd?z — 0 
possède une intégrale intermédiaire : 
og Oo eg 
(2) D = I Aa, og og di dy dz —=0 Se 
on forme: 
Oy! og dg! to Gta ta 
à D — D Aa, do 3 dx dy az 
a 
1 ag as — å 
2 
+ E Z Aa, oa, dr dy ag | Jå — 6) 
us =P,Pp—1.:.2, I 
Ya = 1 
et où les indices supérieurs des A signifient des dérivations faites respec- 
tivement par rapport a x, y, 2. 
En éliminant dz entre les équations (1) et (2) et entre les équations 
(2) et (3), et d?z entre les deux équations obtenues, nous aurons, en 
égalant à zéro les coefficients de dx et dy, le système cherché d'équa- 
tions aux dérivées partielles déterminant les coefficients Aa, ag ag - 
Cependant l'achèvement de ce calcul sera, même dans le cas le plus 
simple celui où 4 —2, assez étendu et pour cette raison nous n'entre- 
rons pas dans ses détails. 
