AXEL THUE. M. -X. Kl. 



Kann ein System S von kongruenten Kreisen in einer Ebene als von 

 zwei dichten Systemen S, und S„ gebildet aufgefasst werden, indem eine 

 Randkette R, von S, und eine Randkette R,, von S,, einen kettenförmigen 

 Teil T von zwei oder mehreren nach einander folgenden Kreisen gemein- 

 sam haben, dann sagen wir, dass das System 6' auch ein dichtes ist. 



Die geschlossene Kette R, die von den Kreisen von R, und R,, unter 

 Weglassung der Kreise von T mit Ausnahme der Endkreise dieser Kette, 

 gebildet ist, soll eine zu S gehörige Randkette sein. 



Unter zwei nach einander folgenden Kreisen von R verstehen wir 

 zwei Kreise von R, die auch nach einander folgende Kreise in R, oder R,, 

 bilden. 



Jede Randkette eines dichten Sj'stems umschliesst die übrigen Kreise 

 des Systems. 

 Satz. 



Beseicluict p die Anzahl der Kreise einer Randkette eines dichten Sv- 

 stents und q die Ansahl der übrigen Kreise des Systems, während U das 

 Areal zwischen den Kreisen innerhalb der Randkette und t das Areal zwi- 

 schen drei einander berührenden unserer Kreise bedeutet, dann wird: 



U=\2i] + P-2}t (i) 



Der Satz gilt ja, wenn 



/> = 3 und (j ~ o 



Bedeuten ferner U U, U,, die von Kreisen unbedeckten Areale von 

 5 S, S„ innerhalb ihrer respektiven Randketten R R, R,„ wo die Buch- 

 staben die früheren Bedeutungen haben, und bedeuten />/>,/>„ beziehungs- 

 weise die Anzahl der Kreise von R Ri R.^ und ç Çi q-, die Anzahl der 

 übrigen Kreise von beziehungsweise 5 ^^ S„ und endlich ni die Anzahl 

 von Kreisen der oben genannten Kette T, dann erhält man, wenn der Satz 

 für 6", und S,, richtig ist: 



U, = (2«7, + />, — 2) T 

 U„ = {2q„ + p„ — 2) r 

 Ferner bekommt man : 



? = <?,+ q,. + ("' — 2| 

 P = iP, — 'l') + (/„ — ;») + 2 



U = U, + U„ oder 



2y + /> — 2 = 2^, + 2q„ + 2 {ni — 2) -f />, -I- /)„ — 2 ;;/ -f 2 — 2 = 



= 2q, -f 2q„ -f />, + /,,,_ 4 oder 



6'= U, + U„ ={2q+p — 2)T 



Gilt also der Satz für 5, und S,„ so muss er folglich auch für 6" richtig 

 sein. Hierdurch ist der Satz bewiesen. 



