iglO. No. I. LBF-R ZUSAMMMENSTELLUNG VON KONGRUENTEN KREISEN. 



Fig. I. 



Theorem 1. 



Umschliessl in einer Ebene eine geschlossene Kette K von p Kreisen ein 

 System von f/ anderen Kreisen, indem sämtlicltc p + (J Kreise ausserhalb 

 einander liegen und kongruent sind, und bezeichnet U das Areal des von 

 den q Kreisen nicht bedeckten Raumes innerhalb der Kette, ivährend x das 

 Areal zioischen drei einander berührenden von unseren Kreisen bedeutet, so 

 wird: 



U=(2q + p — 2)T (2) 



dann und nur dann, zcenn die p -\- (/ Kreise ein dichtes Svstcjii mit K als 

 eine zugehörige Rand kette bilden. 

 Sonst wird immer: 



UX2q-\-p-2)t (3) 



Beweis. 

 Hilden die p -\- q Kreise ein diciites System und die p Kreise also eine 

 dazu geiiörige Randkette, dann gilt, wie oben gezeigt ist, die Gleichung (2). 

 Erfüllen die p -\- q Kreise nicht diese zwei Bedingungen, wollen wir 

 die Unmöglichkeit der Relationen: 



i/^(2y +/> — a)T (4) 



beweisen. 



Man sieht gleich ein, dass diese Behauptung richtig ist, wenn 



/' + 9 = 3 ^-- /' = 3. '7 = 

 und wenn : ^ + y = 4 d: p = ^, q = o 



