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Wäre nämlich dies der Fall, so enthielte, wie früher bewiesen ist, das 

 System S, keine Kette D mit den oben genannten Eigenschaften. 



Unter Festhaltung der Kette Â' von S, können wir folglich hier die 

 inneren 7 Kreise successiv derart verschieben, dass sie in der neuen 

 Stellung, wie früher, innerhalb der Kette A' und ausserhalb einander liegen, 

 während keiner von ihnen die Kette Ä' berühret. 



Könnte man nämlich eine solche Verschiebung nicht vornehmen, so 

 bildeten einige der ç Kreise eine in Bezug auf Berührung zusammen- 

 hängende Fläche, die sich gegen mindestens drei Kreise von K stützte. 

 Aber dann gäbe es mindestens eine Kette D von der erwähnten Art. 



Das durch diese Verschiebung erhaltene neue System 5 wollen wir 

 mit S,, und seinen zugehörigen Wert von U mit U„ bezeichnen. 



Hier wird L'„ = U,. 



Wir wollen nun schliesslich zeigen, wie man hier durch eine kontinuir- 

 liche Veränderung von S„ immer imstande ist ein neues von unseren 

 Systemen S zu finden, wo der zugehörige Wert von U kleiner als U„ wird. 



Dies wird folgendermassen erreicht: 



Es bedeutet H die zu A' gehörige einfache Kreiskette in dem Systeme 

 S„ und ferner P und O beziehungsweise das zu K und H gehörige Polygon. 



Wie erwähnt, bilden je zwei nach einander folgende Kreise .v 

 und r von H die Endkreise einer Kette E von li nach einander fol- 

 genden Kreisen von A'. E bildet folglich, wenn li > 2. eine geschlossene 

 Kette F mit einem zugehörigen Polygone M, die ausserhalb P und inner- 

 halb O liegt. 



Es seien nun a, b, c und d vier nach einander folgende Ecken von 

 O, und f(, ii, y und à die entsprechenden Kreise von H, indem entweder 

 mindestens einer der Poh'gonwinkel bei h und c kleiner als 2/? ist, oder 

 beide verschieden sind. 



,j und Y bilden die Endkreise eines kettenförmigen Teils IV von A', 

 der auch eine geschlossene Kette N bildet, wenn U^ mehr als zwei Kreise 

 enthält. 



Wir merken uns nun zuerst folgendes: 



Bezeichnen a^ />„ i\ (h die vier Ecken eines Vierecks, wo 



(lol'o = (>o('o = Co<h = '' 



und setzt man 



so erhält man : 



/ daOob^ = tp 

 Z b^Codo = xp 

 «odo = -s 



2 sui ip ' 



