AXEL THUE. BEWEIS ÜBER TRANSPOSITIONEN. M.-N. Kl. I9IO. No. 2. 



Man sieht dann gleich ein, dass Mz und Mx j. \ immer einander gleich 

 sein müssen, wenn G auf den Platz P bei einer und nur bei einer der 

 Placierungen A'^ und Ai + i gestellt ist. Also wenn A'i und A^ + i durch 

 eine solche Transposition überführt werden, dass der Gegenstand G hier- 

 durch entweder auf den Platz P gestellt oder von dem Platze P entfernt wird. 



In allen anderen Fällen geht jede der zwei Placierungen Ms und 

 Mx + 1 in die anderen durch eine Transposition über. 



Ist der Gegenstand G durch einige von den q Transpositionen im 

 ganzen ;- Male auf den Platz P gestellt, so muss er auch, da G auf dem- 

 selben Platz in iVi und A', + i steht, ;- Male von dem Platze entfernt ge- 

 worden sein. 



Für 2/- Werte von x bezeichnen also Mx und ÅIx + 1 dieselbe Pla- 

 cierung. 



Aus der Reihe (2) können wir nun eine neue bilden, indem wir eine 

 beliebige der Bezeichnungen Mr und Mx - 1 wegnehmen, wenn Mx und Mx + 1 

 dieselbe Placierung bezeichnen. Aus der erhaltenen Reihe können wir 

 wieder auf dieselbe Weise eine neue bilden. Durch wiederholte Anwen- 

 dung dieses Verfahrens erhalten wir zuletzt eine Reihe (3) von </ -|- i — 2;- 

 Gliedern, wo je zwei nach einander folgende Glieder zwei Placierungen be- 

 zeichnen, die durch eine Transposition in einander überführt werden können. 



Da das erste und das letzte Glied der Reihe (2) und also auch die 

 entsprechenden Glieder der Reihe (3) dieselbe Placierung bezeichnen, so 

 muss die Anzahl q — 2^ der Transpositionen der Reihe (3) eine gerade 

 Zahl sein. 



Entfernt man nämlich von allen «7+1 — 2/- Placierungen (3) den 

 Platz P mit dem auf ihm stehenden Gegenstand G, so erhält man eine 

 Reihe 



R\ Rj, Rq + 1 - 2 r 



von <7 + I — 2r Placierungen der restierenden /> Gegenstände auf den re- 

 stierenden p Plätzen, wo R^ und R^ + i-2r dieselbe Placienmg bedeuten, 

 während Ry und Ry j. 1 für jeden der betreffenden Werte von y durch 

 eine Transposition in einander überführt werden können. 



Nach unserer Voraussetzung über die Zahl p muss hier folglich die 

 Anzahl q — 2r der Transpositionen eine gerade Zahl sein. 



q muss also, wie behauptet, auch eine gerade Zahl sein. 



Lian, d. 15. November 1909. 



Gedruckt am 3. November 1910. 



