AXEL THUE. M.-N. Kl. 



Werte von .v deo Gegenstand, der durch die Placierung A auf den Platz 

 P,, placiert ist, auf den neuen Platz P,„ wo y _ .r -f i (mod. n), stellen. 



Wir wollen sagen, dass die Placierung B aus der Placierung A durch 

 die Operation S erhalten ist. 



Wendet man die Operation 6' ;/ Male auf eine beliebige unserer 

 Placierungen an, so wird die erhaltene Placierung der ersten gleich. 



Satz I. 



Bedeutet U" die Anzahl sämtlicher derjenigen von unseren a" Placie- 

 nitigeii, ivovon jede so beschaffen ist, dass sie nicht nach weniger als n 

 Amvcnditngen der Operation S in sich selber übergeht, dann muss Ua immer 

 durch n teilbar sein. 



Aus einer willkürlichen Placierung 7"i von den U'à Placierungen kön- 

 nen wir nämlich n — i neue Placierungen T, T>, r„ durch suc- 

 cessive Anwendungen der Operation 5 bilden, indem Ts + 1 von Tx durch 

 eine einzige Anwendung der Operation S gebildet ist. 



Je zwei der n Placierungen T\ T.2, 7",,, die nach der Voraus- 

 setzung sämtlich verschieden sind, können durch wiederholte Anwendung 

 der Operation 5 in einander überführt werden. 



Anwendet man die Operation 5 auf eine beliebige der n Placierungen 

 T eine beliebige Anzahl Male, so erhält man wieder eine der Placie- 

 rungen T. 



Jede der Placierungen T wird eine der genannten U'à Placierungen. 



Es sei nun W\ eine von T\ verschiedene der f/" Placierungen und 



W-i IVj Pt^„ alle die von IVi durch die Operation 5 successiv 



gebildeten von einander und von Wi verschiedenen Placierungen. 



Ist dann eine der Placierungen 



IVi W. W„ 



mit einer der Placierungen 



T, n T„ 



identisch, dann enthalten beide Reihen dieselben n Placierungen. 



Für jede von den L'a Placierungen erhält man also auf diese Weise 

 eine Reihe von n Placierungen unter den genannten U',' Placierungen. 



Da nun sämtliche verschiedenen von diesen Reihen von n verschie- 

 denen Placierungen im ganzen alle U" Placierungen enthalten müssen und 

 jede Placierung nur ein einziges Mal, so muss also U", wie behauptet, 

 durch n teilbar sein. 



Ist z. B. n eine Primzahl, bekommt man 



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