igiO. No. 3. BEWEIS EINES SATZES VON FERMAT. 



Giebt es niimlich eine Placierung, die durcii eine einzige Anwendung 

 der Operation S in sich selber übergeht, so müssen hier auf allen « 

 Plätzen Gegenstände derselben Sorte stehen. 



Es giebt folglich im ganzen a solche Placierungen. 



Wir brauchen folglich, nach unserem Satze, nur zu zeigen, dass wenn 

 eine- beliebige Placierung R von den restierenden 



a" — a 



Placierungen durch ;- Anwendungen der Operationen S in sich selber 

 übergeht, dann kann ;• nicht kleiner als ;; sein. 



Wenn nämlich das der Kall wäre, müsste auch die kleinste positive 

 Zahl ;v, für welche R nach /-„ Anwendungen der Operationen S in sich 

 selber überging, kleiner als ;/ sein. 



Wir bekämen dann in ganzen positiven Zahlen /( und k: 



wo o <Ck <i >o 



indem r„ > i ist. Aber wenn /t = « — ;-„/;, ginge R folglich auch nach 

 /.• Anwendungen der Operationen 5 in sich selber über, was nach unserer 

 X'oraussetzung über die Zahl ;■(, unmöglich ist. 

 1st ;; eine Primzahl, muss 



folglich durch ;; teilbar sein. 



Dieser Fermat'sche Satz ist somit bewiesen. 



Indem wir nun L'" für jede beliebige ganze positive Zahl bestimmen 

 wollen, werden wir dadurch auch eine Erweiterung des Fermat'schen Satzes 

 herleiten. 



Man ersieht aus dem obenstehenden Raisonnement gleich ein, dass 

 wenn eine von unseren a„ Placierungen nach ô, wo d'^o, aber nicht 

 nach weniger als ô Anwendungen der Operationen 5 in sich selber über- 

 geht, dann muss ö ein Divisor von ;/ sein. 



Ferner sieht man auch ein, dass die Anzahl aller solchen Placierungen 

 gleich U° sein muss. 



Da nun jede der a" Placierungen nach « oder nach weniger Anwen- 

 dungen der Operationen 5 in sich selber übergeht, so kann man für jede 

 beliebige Placierung Q, der a" Placierungen immer einen solchen Divisor 

 (Î von n, wo i und >i als Divisoren betrachtet sind, finden, dass O nach 



