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Wenn nun der Satz nicht richtig wäre, so könnte man eine Verzwei- 

 gung ,4 bilden, indem jedes Blatt eines Zweiges z von S mit mehr als 

 einem Blatt durch einen entsprechenden Zweig Rk-i-x von i?j ersetzt 

 würde. 



Da />'/, weniger Blätter als .4 nur dann erhält, wenn // = o, und 

 i?A also ein einziges Blatt bedeutet, so muss jeder der genannten Zweige 

 i?i_i_a: ein einziges Blatt bedeuten oder A' — i ^ .r , während - folglich 

 mit einer Verzweigung .4 identisch sein muss. 



Da alle die genannten Zweige l\k — \—x dieselben x^k — i haben 

 müssen, so enthielte also R^ , wenn der Satz nicht richtig wäre, einen Zweig 

 B-k = ^[-B— li + ii], wo die Verzweigung .4 ein Zweig der Ii'i ent- 

 sprechenden Verzweigung ^S" wäre. 



Dies ist indessen nach der Definition von S unmöglich. 



Satz 8. Ersetzt mau, irenn k eine beiiebige ganze jwsitive oder 

 vegativc Zahl oder Null bedeutet, jeden Zweig A[B] oder i?_i[ß,] von 

 RiilB] oder RklB,] nach dem Axiome (I) durch ein einziges Blatt d. h. 

 durch C oder R„, so erhält man die Verziceigung Ri, 4.1. 



Die Richtigkeit hiervon leuchtet gleich ein, wenn 



k^o. 



1st ferner der Satz für k <T /; , wo p ^' o , richtig, so muss er auch 

 für /.■ = 7> -}- I richtig sein. 



Rfi + 1 hat nämlich, wenn j] J- o , die Form 



aS [Rp—x^ , Rp—x^ , , Rp—.i-n\ , 



oder man bekommt 



Bp + l(E,) = S [Rp-xAR,). Rp-.r,{E,) Rp-.v„{B,)]. 



Enthielte nun Fip + iiR^) einen Zweig R^iiR,), so müsste also Äp + i 

 einen entsprechenden Zweig i?_i oder -1 enthalten. 



Nach dem Satze (7) muss indessen dieser Zweig ein Zweig einer der 

 Zweige h'p-x in Rp + i sein. 



Jeder Zweig -ß_i(Ä,) von ii'p + i(7i;,) muss also gleichfalls ein Zweig 

 einer der genannten Zweige Rp—x{S,) von i?p+i(B,) sein. 



Ersetzt man folglich jeden Zweig 7i'_i(R,) von A',, + i(i^,) durch ein 

 einziges Blatt, so wird hierdurch bloss jeder Zweig i?_i(i?i) von jedem 

 der genannten Zweige /tp_x(Ä,l von Rp^i(Ei) durch ein einziges Blatt 

 ersetzt. 



Gilt nun Satz (8| für k ^ l) , so erhält man also aus Rp+\(Ri) durch 

 die genannten Reduktionen die Verzweigung 



