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Identische \'erz\veigungen müssen ja nach den Definitionen auch ein- 

 ander gleich sein. 



Theorem I. Jede beliebig gegebene Terziveigung lässt sich durch 

 ausschliessliche Reduktionen nach den Fundamentalgleichungen (II) 

 nur zu einer einzigen irreduktiblen Verzweigung reduzieren. 



Um dieses Theorem zu beweisen, wollen wir zunächst einige Hilfs- 

 sätze aufstellen. 



Satz 9- Bedeutet p eine beliebige ganze Zahl und q eine belie- 

 bige nicht negative ganze Zahl, so kann man 



Rp+q aus Rp[Bq] 



durch ausschliessliche Reduktionen nach den Fundamentalgleichungen (II) 

 erhalten. 



MeJir speziell erhält man, u-enn )iiclit gleichzeitig q negativ und p 

 positiv ist, dass 



Rp[Rq] = Rp^q, ... .|2I) 



Ist p nicht positiv, während 'y ganz beliebig ist, sieht man gleich ein, 

 dass Rp[Rq\ durch ausschliessliche Reduktionen nach den Fundamental- 

 gleichungen (II) in Rp + q übergeht. 



Für jede beliebige positive ganze Zahl )" erhält man nämlich, wenn 

 g > o 



R-r\Eci\ = R-(r-^)[R-\(R,)] = R-y,-\)\Rq-\]- 



Fährt man auf diese Weise fort, erhält man, wenn s eine beliebige 

 ganze Zahl, grösser als jede der Zalilen v und q ist, die Verzweigung 



R^yr-s) [Rq-s] . 

 Ist hier q^ r , erhält man also zuletzt die Verzweigung 



R-x[Rq-r^x] = Rq-r 

 und wenn q <. r , zuletzt die Verzweigung 



R-(r-.q){Ro] ^ Rq-r- 



Sind beide Grössen p und q nicht positiv, so bedeutet Rp\Bq\ nach 

 der Definition die Verzweigung Rp + q . 



Schliesslich müssen wir den Fall, wo p und q positive Zahlen sind, 

 behandeln. 



