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Satz 12. Ist q '^ o , sa krum man )ikJif eive solche Yerziueifjung 



H iinden. dass 



E, = H(A). 



Dies ist jedenfalls richtig, wenn 7 = und wenn î = i. 



Wäre ferner der Satz richtig für q^p, wenn p^i, so müsste er 

 auch für '_/ = 7' + i richtig sein. 



Da /i'p + i hier einen Zweig 7?,, enthält und 7?^ mehr Blätter als A 

 hat, so bekäme Rp die Form Ä'(.l), wenn /i';. + i die Form H(A) hätte. 



Satz 13. Sind p und q beliebige gange positive Zahlen, so enthält 

 Bj. keinen Zweig R—q, dessen erster Knotenjrunkt einen der inneren 

 Knotenpiunkte der Rp entsprechenden Verziceigung S bildet. 



Wäre der Satz nicht richtig, könnte man eine Verzweigung /?- , aus 

 einem Zweige Z von S bilden, indem man hier jedes Blatt durch eine 

 entsprechende Verzweigung Rt ersetzt. 



Da Rt, wenn s>o, mehr Blätter als .1 besitzt, so kann jedes A' nach 

 dem Satze (12) keine positive Zahl sein. 



Man kann also R-q bilden, indem jedes Blatt eines Zweiges Z von S 

 mit mehr als einem Blatt durch eine entsprechende Verzweigung Ä_/, , 

 wo h%o, ersetzt wird. 



i?! enthielte dann folglich eine unmögliche \'erzweigung R—m , deren 

 ersten Knotenpunkt entweder den ersten oder einen der inneren Knoten- 

 punkte von .S' in Rx bildete. 



Alle diese Verzweigungen Ä_;, können ausserdem nicht mit einander 

 identisch sein. Sonst erhielte Z die Form R^ijt-i,), was gegen die Defi- 

 nition von <S' streitet. 



Ist r hier der grösste Wert von /(, so gehört der erste Knotenpunkt 

 einer der Zweige R-r von /)'_(,_,.[/?-,] j; Rq zu den inneren Knoten- 

 punkten von S. Hier ist 



'7 > r > o. 



Raisonniert man nun über R-r wie über -ß_ ,, und fährt man auf 

 diese Weise fort, erhielte man beliebig viele verschiedene Zahlen )' 

 zwischen q und o, was unmöglich ist. 



Der Satz könnte auch bewiesen werden, indem man oben durch q, 

 wenn der Satz nicht richtig wäre, die kleinste positive Zahl, bei der R-q 

 die genannte Eigenschaft erhielt, bezeichnete. 



Aus Satz (13) erhielt man gleich: 



Sind [1 und q zwei beliebige ganze positive Zahlen, und bezeichnet r 

 die grösste Zahl, bei der Rj, einen Zweig R-r erhalten will, so wird r 

 auch die grösste Zahl, bei der i?, einen Zweig R-r enthalten will. 



