igiO. No. 8. DIE LÖSUNG EINES SPEZIALFALLES EINES GENER. LOG. PROBL. 33 



Satz 14. Ist p > o, no enthält ii,, keinen Zweig Rq, dessen erder 

 Knotenpunkt eine» der inneren Knotenpunkte der Sp entsprechenden Ver- 

 zireigung S bildet. 



Wegen des Satzes (13) brauchen wir nur den Fall, wenn ry>o, zu 

 betrachten. 



Vorausgesetzt, dass der Satz nicht richtig sei, bezeichne k den klein- 

 sten positiven Wert von p, bei dem iv",, einen Zweig Å\ der genannten 

 Arten enthielte. 



Man kann also Eq, indem jedes Blatt eines von S verschiedenen 

 Zweiges Z von S mit mehr als einem Blatt durch eine entsprechende 

 Verzweigung R„, ersetzt wird, bilden. 



Da indessen Z weniger Blätter als iS' enthält, muss folglich 7)', , wo 

 < (^ < j; , auch einen Zweig R,,, haben, dessen erster Knotenpunkt einen 

 der inneren Knotenpunkte der Rq entsprechenden Verzweigung S bildet. 



Hierdurch ist der Satz bewiesen. 



Satz 15. Ist p>0, so kann man mcht Rp aus einer Verzwei- 

 gung T mit weniger Blättern als S und mit mehr als einem Blatt bilden, 

 indem man jedes Blatt von T durch eine entsprechende Verziveigung 

 Rq ersetzt. 



Rp enthielt nämlich im entgegengesetzten Falle einen Zweig Rk, dessen 

 erster Knotenpunkt einen der inneren Knotenpunkte der zu Rp gehörigen 

 Verzweigung «S' bildete. 



Dies ist aber nach dem Satze (14) unmöglich. 



Satz 16. Für jede ganze jwsitive Zahl p muss Rp immer eine 

 Primverzrveigting sein. 



Es bedeute im entgegengesetzten Falle n der kleinste positive Wert 

 von p, bei dem Rp keine Primverzweigung ist. Rn hat also die Form 

 -P[C^]> wo jeder der Verzweigungen F und Q mehr als ein Blatt enthält. 

 Q kann keinen von Rn-i verschiedenen Zweig einer der Zweige Rn-i von 

 R„ sein. Sonst enthielte /i*„-i auch die Form T (Q) , wo T mehr als ein 

 Blatt hätte. Der erste Knotenpunkt jedes der Zweige Q von P [Q] ^ Ä„ 

 gehört also zu einem der Knotenpunkte der i2„ entsprechenden Ver- 

 zweigung S. Jede Verzweigung Q kann also gebildet werden, indem jedes 

 Blatt eines Zweiges Z von 8 durch eine entsprechende Verzweigung Rr 

 ersetzt wird. Da R\ eine Primverzweigung ist, können nicht alle die 

 den Zweigen V ^o" F {(^) entsprechenden Verzweigungen Z von S mit 

 einander identisch sein. Wären die zwei Zweigen Q entsprechenden 

 Zweige Z von S verschieden, so enthielte das eine (^ in P [Q] einen 



Vid.-Selsk. Skrifter. I. M.-N. Kl. 1910. No. 8. ' 3 



