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Zweig i?„, dessen erster Knotenpunkt zu den inneren Knotenpunkten von 

 S gehörte. Dies ist aber nach Satz (15) unmögüch. 



Satz 17. Ist p eine beliebige game Zahl, so enthält Ep keinen 

 Ziveig A[Rq(U)], wo q eine game positive Zahl und U eine Verzwei- 

 gung bedeuten. Bp lässt sich mit anderen Worten nicht durch eine 

 einzige Anivendung eines der Axiome (II) reduzieren. 



Die Richtigkeit des Satzes leuchtet gleich ein, wenn p negativ oder 

 gleich Null ist. 



Da A [i?, (f/)] mehr Blätter als /i'i enthält, muss es auch für p = i 

 richtig sein. 



Vorausgesetzt dass der Satz nicht richtig wäre, bedeute r den kleinsten 

 positiven Wert von p, bei dem Bp einen Zweig A[Bq{U)] enthält. 



Indem 



Hr ^= S [i?r-l-,r,, ßj— I-.T2' ' tir-\-.r„] 



muss der erste Knotenpunkt von A [Bq{U)] einen der inneren Knoten- 

 punkte von S bilden. Man erhält folglich A[Bq{U)] aus einem Zweig Z 

 von 'S' mit mehr als einem Blatt, indem jedes Blatt von Z durch eine 

 entsprechende Verzweigung B^-i-x ersetzt wird. 



Da Rr eine Primverzweigung ist und /i',- also nicht mit A\Rq(U)] 

 identisch sein kann, enthält Z weniger Blätter als S. 



Da A {B^\ mehr Blätter als 7?i und folglich mehr als .S' enthält, gehört 

 also mindestens einer der Verzweigungen l' von A\B^(Ü)^ nicht S zu. 



Mindestens einer der Zweige Br—\-x von Br muss folglich die Form 



W(U), 



wo ir mehr als ein Blatt enthält, haben. 



Wenn also ü nicht ein einziges Blatt bedeutet, muss ;■ — i <^x, oder 

 V muss die Form Bs, wo s positiv ist, haben. 



Bedeutet U ein einziges Blatt, enthielte iiV also einen Zweig A [i?,| 

 der genannten Art. 



Der erste Knotenpunkt von jedem Zweige B,^ von dem Zweige ^[i?,] 

 von Br kann nach dem Satze I14) keinen der inneren Knotenpunkte von 

 S bilden. 



Der genannte Knotenpunkt kann auch nicht mit einem der inneren 

 Knotenpunkte einer der ^ [i?g] entsprechenden Verzweigungen Br i^x 

 identisch sein. Sonst erhielte diese Verzweigung die Form E[Bq], wo 

 A' mehr als ein Blatt enthielte. Dies ist aber unmöglich. .4 in A [/i',J 



