1913. No. 5. WISSENSCHAFTL. NACHLASS VON SOPHUS LIE. 15 
Wir stellen uns in diesem Kapitel die Aufgabe alle Flåchen zu finden, 
welche sich in vier verschiedenen Weisen von Kurven erzeugen lassen, 
welche in Translationsbewegungen fortgeführt werden. 
4. Entwurf eines Briefes an Klein über die Arbeiten von Schur. 
4 Folioseiten. 
5. 14 Folioseiten. Bruchstück eines Entwurfes, der dasselbe Problem 
wie in 3 behandelt. Der Anfang lautet: 
Zu einer Kurve (p + ı)°te Ordnung mit der größtmöglichen Anzahl 
Doppelpunkte gehören bekanntlich p unabhängige Abelsche Integrale erster 
Gattung. Bezeichnen wir dieselben mit 
qi(x), ax), - - - Pp(x) 
so sagt das Abelsche Theorem, daß wenn m > p beliebige Größe x4... x, 
vorliegen, immer p Funktionen y; ... y, derselben gefunden werden können, 
welche die Gleichungen: 
Pili) +. -- + m(xs) = 9G) + --- + p(y) 
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erfüllen. 
Es liegt noch nahe zu fragen, ob hierin eine. charakteristische Eigen- 
schaft der p zusammengehórende Abelschen Integrale erster Gattung vom 
Geschlecht 5 ausgedrückt ist. 
Dies ist offenbar nicht der Fall. 
Setzen wir dagegen voraus, daß ;4— p — 1, so kann das Abelsche 
Theorem die einfache Gestalt: 
1X — Pare — PiXp—1 = $151 — Få — PiYp—1 
Pat + Pp¥p—1 = Phi +--+ À qos 
erhalten. 
Fügt man die Forderung hinzu, daß x,...x,_1 unabhängige 
Größen bezeichnen sollen, so werden unsere Gleichungen nur in dem 
Falle von P beliebigen Funktionen @ erfüllt werden, wenn eine lineare 
Gleichung 
Cipi +... + Cp — 0 
mit konstanten Koeffizienten besteht. 
Indem wir daher das Bestehen einer solchen linearen Relation von 
vornherein ausschliefsen, kónnen wir die Gleichungen (2) als Funktional- 
gleichungen auffassen. Ich habe gefunden, dafs dieselben nur von f zu- 
sammengehórenden Integrale erster Gattung von Geschlecht p erfüllt werden. 
