191 1. No. 12. UNLÖSBARKEIT DER GLEICHUNG P^ + Q^ = R^. 7 



e) Haben icir 



PQ o 



wo 



P ^ fto + «1 - + + ^n-l ^"-^ 



^ = Co + ''l ^' + + f^'n • 1 



■.n 1 



;n -1 



iciihrend jedes o, jedes h, jedes c und jedes d eine ganze Funktion von 

 X ist, und besitzen Q{z\) .... QX^n) = Q(^) Q\{z) und R[Zi) .... R{zn) = 

 B{s)Ri{s) keinen (jemeinsamen Divisor x — q, dann bekommen ivir, 

 trenn (4) irreduktibel ist: 



J=/o + /i~^ + + ^-1^"-^ 



ivo jedes f einer gnnze)i Funktion gleich irird. 

 Aus der Gleichung 



FQ = SR 



erhält man nämlich 



[i^i?i] [QQi] = [SQi] [BRi] 

 Sämtliche Koeffizienten von P/t\ müssen also durch RF^ teilbar sein. 



ff) Es sei micJi (4) 



= /"[C0 + Ci^ + + c„_i^"-i] 



WO f und jedes a, jedes b und jedes c eine ganze Funktion von x ist. 

 Ferner sollen alle Wurzeln von f verschieden sein, währejui keine von 

 ihnen eine Wurzel von der Diskriudnante D sein soll. 



Sind dann nicht sämtliche Funktionen a und auch nicht sämtliche 

 Funktionen b durch einen Divisor x — q von f teilbar, so müssen die 



Norm von «o + + ^'»^-i ^*^^ ^*''^^ ^^'^' Norm von bQ-\- 4- bn \ 5"~* 



durch f teilbar sein. 



Wir machen zuletzt eine Digression: 



Es sei 



wo k eine ganze positive Zahl bedeutet, während 



