191 1. No. 12. UNLÖSBARKEIT DER GLEICHUNG p'^' + Q^' = R^. 9 



Wir erhalten somit eine Gleichung 



A"-{-B" = S[^" (8) 



wo *S' und r ganze Funktionen von x sind, während jede Wurzel von S 

 auch eine W^urzel von i -f- x" ist. Endlich kann S so gewählt werden, 

 dafe <S nicht durch \X — q)", wo q eine Wurzel von i -\- x"' bedeutet, 

 teilbar wird. 



Sind Ä und B durch eine ganze Funktion I^ von x teilbar, so kann 

 man über die Gleichung {8) mit F" dividieren. 



Man erhält auf diese Weise eine Gleichung 



P" -f (^" = SR" 19) 



wo )S die frühere Bedeutung hat, während P, Q und R solche ganzen 

 Funktionen von x werden, dafs nicht je zwei von ihnen eine gemeinsame 

 Wurzel besitzen. 



Ist der Grad q von Q nicht kleiner als der Grad von P, und sollen 

 P und (^ nicht Konstante sein, so mufs 



'/>o. 



Bedeutet // die Anzahl verschiedener Wurzeln von S, so muß Ji ^)i. 

 Da 



P" + rv" = P - e,Q] [P - e.Q] .... [P - e„Q] 



wo £i, «2» • . • • , fn die n Wurzel von e" -\- i bezeichnen, so ist der Grad 

 von «S'P" nicht kleiner als qy)i — i\ 



Aus demselben Grunde erhält man die Gleichungen 



P-e/^ = .S,P'; 

 P — t (J = S R" 



(ig) 



wo jedes S und jedes li eine ganze Funktion ist, während jede Wurzel 

 jedes «S"s auch eine Wurzel von i -\- .r" wird. 

 Durch Derivation erhält man aus (9) 



nP''-'P' + n(/''(/ == P"-' ^}iR'S + RS'^ 

 oder 



NR[P''-'P' + (/'-'(/] = P" + V"i M 



wo J/ eine ganze Funktion von x ist, während 



N={x — Q^) {x — o.^....{x- Q,) 



