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AXEL THUE. M.-N. Kl. 



Für n = 3 leuchtet die I^ichtigkeit des Satzes sofort ein. 

 1st in (i8) z. B. z = I, oder besteht die Gleichung 



A./' + /;//' + 6'= o (31) 



wo also .1, Jj und C gegebene ganze Zahlen sind, so kann ich, wenn 

 n ^3, zeigen, dafj u nicht gröfeer als eine gewisse, von A, B, C und n 

 abhängige Grenze sein kann. 



Es ist mir noch nicht gelungen, eine solche Grenze zu berechnen. 



Dies läßt sich indessen doch machen für alle Lösungen x, ij der 

 Gleichung (21), bei denen man solche von Null verschiedene Zahlen 

 p, q und r finden kann, dafs 



In diesem Falle wird ja, wie früher gezeigt ist, ly ^= o, oder 



cppx = A [Br" - Cq''] .... 1.33) 



rpqi^ = B [(Y — ^^^T (24) 



cpr^OUq""- Bp""] '25> 



W'O cp, wenn p, q und r, was man hier voraussetzen kann, keinen gemein- 

 schaftlichen Teiler ^ i besitzen, eine ganze Zahl wird. 

 Nach (7), ^8) und (g) erhält man ferner 



cp [Bpi/-' — Aqx''-'] - — ABCpqrWi 

 rp [Cq — Bnf-'] = — ABCpqrxW. 



cp [Arx""^' - Cp] =- — ABCpqrijW^ 



wo Wi, Wo und II '3 ganze Zahlen sind. 

 Da 2^ und q wegen der Gleichung 



PJ' + Qy + r = o 



relative Primzahlen sind, werden folglich (jn Ja:** durch p, (pBi/^^ durch ç, 

 und (pC durch r teilbar. 



Nach (23) und (24) mufs ABC durch den gemeinsamen Divisior von r 

 und q) teilbar sein. 



ABC- läßt sich also durch r teilen, oder 



\r.^\ABC^\ v26) 



