Solution complète en nombres entiers 

 m, n, X, y et Jk de l'équation: 



w arc tff — \- /i arc t^ — = æ — . 



Par 



Cari Størmer. 



(Fremlagt til Trj-kning af Dr. Elling Holst i Modet d. Gte December 1895.) 



I. 



Le problème con.sistant à résoudre complètement l'équation 



I l , TT , . 



m arc tsf h ^^ arc X.^— = k — ( l ) 



en nombres entiers x, j', /;/, //, k est déjà posé par Euler. 



L'année dernière, ce même problème (pour /•= i) fut posé comme 

 question dans la revue française L Intcnncdiairc des Mathématiciens 

 par M. D. Gravé, à St. Petersbourg. 



Cette question m'a beaucoup intéressé, et je crois en avoir obtenu 

 la solution. 



Pour avoir un point de départ, rappelons-nous la formule connue 



(rti -f ibx) {a-2 + Hj-^ {a,, + i à,) = 



/ ; r"o /■ :; ;- ^ ' — s -, — ^> I !H<^ *- + ^'l'c tg — + . . . + arc tg — ) / 



= |/ a{^ H- /;i2 . |/rt2^ + /^2- . . . . |/ a,,^ + ö,;^ e ^ "> «-■ «»/ • 



On voit par cette formule, que la condition nécessaire et suffisante 

 pour que 



arc tg -^ 4- arc tg ^ + . . . + arc tg ^' = kjc, (2) 



a\ a-z an 



k étant entier ou = o, est que le produit 



(ax -h ibi) («2 + ^'^^^2) {a,, + ?^„) 



Vid.-Selsk. Skritter. M.-N. Kl. 1895. No. 11. I* 



