CARL STØRMER. M.-N. Kl. 



soit réel ; alors on aura l'équation de condition 



(«1 + ib^ («2 + ib-i) . . . {a„ + ?7^„) = («i — ibx) («2 — ibi) . . . {a„ — ?7;„) . . (3) 

 Appliciuons ce résultat à notre équation (i), qui peut s'écrire 



k arc tff h ;;/ arc ts^ — \- /i arc tg — = o. 



'^ — I ^ X ^ y 



On aura donc 



(i — i'f{x -h /)"'0' -h ?■)" = (i + On^' — 0"'0' — 0" (4) 



C'est la condition nécessaire et suffisante pour que l'on ait une 

 équation de la forme (i). 



En suivant la théorie des nombres entiers et complexes donnée par 

 Gauss, une étude directe de cette équation m'a conduit à des propositions 

 assez intéressantes. 



Je vais d'abord fixer quelques suppositions sur les nombres w, 11 et k. 



On peut évidemment supposer qu'ils soient tous positifs et non divi- 

 sibles par le même diviseur. 



Nous allons démontrer que les nombres m et n peuvent être supposés 

 premiers entre eux. 



Soient, en effet 



tn = v.m\, n = z;zi, 



mx et ;/i étant premiers entre eux. Alors on aura 



/ I . lA ; ^ 



y. \m\ arc tg - + ih arc tg -J == k —, 



équation, qui peut s'écrire: 



-/ arc tç - = -t' —, 

 ^ u 4 



- étant irréductible. Mais alors la condition (3) donne 

 u 



(I — tfiu -h i7>y- = (I -h if{u — iv)y- (5) 



u et V étant premiers entre eux, u et u + n> le seront aussi dans 

 le sens étendu du mot. Or, un diviseur commun à u + iv et u — iv 

 étant contenu dans leur .somme 2u il divi.sera 2 = — /(i ■\-if et sera 

 égale cà 2, à I + ?, ou à une unité, ce qui donne les trois cas suivants: 



\\ u + h> = 2c 



u — iv == 2C\ 

 d'où u^-^if^ = 4cc'. 



