l895- No- IÏ- SOLUTION COMPLÈTE EX NOMBRES ENTIERS ETC. 5 



Mais, 11 et v étant premiers entre eux, il faut, qu'ils soient tous les 

 deux impairs, ce qui donne 



(2//1 + 1)2 -f (27'i + 1)2 = 4^-' 



4/^i(/a H- I) H- 4î'i(''i + i) -h 2 = 4'"^'', 

 ce qui est impossible 



2) /^ -\.iv = {\ + /) (?^i + iv\) 



u — /î' = (i — /) {u\ — ic'i] = — /(i + /) (7^1 — ivi) 



m -\- iv\ ci ux — iv\ étant premiers entre eu.x; ces valeurs substituées 

 dans (5) donnent 



(i — if {ni 4- iv\) = (i 4- if (?a — «î'i) (^'' étant entier ou = o). 



Mais, ui -\- ivi n'étant pas divisible par i -f /, il faut, qu'il soit 

 diviseur d'une unité, c'est à-dire une unité même: 



n\ -\- iv\ == f , 

 d'où u + zV' = s{i + i) 



- = ± I 



u 



V , ^ 7t (c étant entier 



arc tg- = (2c +1)—. X 



^ n ^ -^ 4 ou = o.) 



3) Les nombres u -f- iv et n — /:' sont premiers entre en x et pas 

 divisibles par i -h /. Alors l'équation (5) est impossible, à moins que 

 // -\- iv ne soit une unité 



ic -\- iv = €, 



j, . V 



d ou — = o ou = 00 



n 



rt 7t {c étant entier 



.- ^2C 

 2 



Ou aura ainsi dans tous les cas; 



arc tg — = 6\ — = 2^ — . ^ V 



^ u 2 4 ou = G.) 



V , 7t 



arc tg - = h -, 

 n 4 



ou mi arc tg — |- )i\ arc tg — = k\ 



I i j 7t {k\ étant entier 



X 



'j' 4 ou = o) 



et l'on retombe ainsi sur une équation de la même forme que (i), mais 

 où les nombres nii et n\ sont premiers entre eux. 



Pour étudier l'équation (4), posons 



,r-h/ = (i ^i)S{a + ib) 

 j-|-/ = (i -\- i)S' {c -\- id\ 



