l895- No. II. SOLUTION COMPLETE EN NOMBRES ENTIERS ETC. ^ 



En passant aux tangentes, le système (9) se trouve satisfait, si l'on 

 peut trouver tous les arcs rp tels que 



^ a 



a et ,i étant des nombres entiers et 



^i, 



4 I A~ I A-j- i 

 et tg ucf = A^, X+T °" 



^ — r 



.«•^ étant aussi entier. 



Sans suivre ces relations dans leurs conséquences, nous allons en 

 développer d'autres plus importantes. 



En effet, en prenant les normes des équations (8), on aura 



yi = «2 -^ ß^ et impair, ö et ô^ étant o ou i. 

 On aura de plus 



.r+j/ = (a + /;y)?a 



Q étant le plus petit des nombres ß/i et 7i; mais, x -\- y étant réel, 

 il faut que Q soit divisible par [a — iß)" de sorte que l'on a: 



X + y = cA<^ [c étant entier) (10, b) 



D'autre part, hs équations (10, a) sont aussi des conditions suffisantes^ 

 si X 4- y ^st divisible par A, ce que l'on peut démontrer aisément. 



Une étude approfondie des équations (8) m'a conduit à la solution 

 complète du problème. 



III. 



Comme nous venons de le voir, il reste à trouver toutes les solu- 

 tions entières des equations de la forme 



' + '^ = ^"' 1 (,.) 



et I -h .r2 = 2z^ / 



Quant à la première, l'impossibilité des solutions entières autres 

 que .V ^ G, .cr ^ i i , si // > i , est démontrée par ^f. Lebesgue dans les 

 Nouvelles Annales de Mathématiques t. IX, p. 178, t'*^'"^*^ série. 



