CARL STØRMER. M.-N. Kl. 



Pour trouver les cas possibles de la seconde, nous allons d'abord 

 démontrer le lemme suivant: 



p étant un nombre premier quelconque (réel), la plus grande puis- 

 sance de p, qui divise le produit 



1.2.3... n {n<p) 



sera égale ou inférieure h /»— /' + ^ 



Pour démontrer ce lemme, nous citons d'après Legendre : <iThéorie 

 des nomöresT), Introduction, XVII la proposition suivante: 



71 étant écrit dans le système de numération dont la base est p 



n = Ap"- H- Bpi^ -\- Cpy -\- . . . , 



A, B, C, ... étant des nombres entiers positifs inférieurs h p et 

 a, ß, y . ■ . étant différents entre eux, la plus grande puissance de /, qui 

 divise le produit / . -* . j . . .n sera p-''-, oii 



n — A — B—C—... 



y = 



P—l 



La plus petite valeur de A -\- B -{- C -\- . . . étant i, il faut, que 



= w — I 



/—I 

 Mais, p étant > 2 et n >p on aura toujours 



n[p-2)%p{p — 2), 

 d'où n[p — i) — ii>[p — i)^ — I 



[p—\)[n—p^-\)>n—\ 

 zr^n — I 



ce qui donne 



z < n — / -|- I c. q. f. d. 



A laide de ce lemme nous allons d'abord démontrer que l'équation 



I 4-.r- = 2s'\ 



n'admet pas d'autre solution que ,r = ib i, .; = i, quand n est un 

 nombre impair > i. 



X étant impair, posons x = 2q -\- i, ce qui donne 



Mais, ç + (o + i)^ et q — (? "h 0^ étant premiers entre eux il faut que 



q^-{q-V\)i = l[a-\-i^y\ 



