l895- No. II. SOLUTION" COMPLÈTE EN NOMBRES ENTIERS ETC. 9 



£ étant une unite cl a + /i un nombre entier complexe, o- -f- {q -\- i)^ 

 étant impair, l'un des nombres «, ^ est pair, l'autre impair. En dispo- 

 sant convenablement de l'unité d, on peut supposer, que 



d'où 



a + ri = I 4- 2 /a -I- /]•}{) = i -f- 2 A, 



ce qui donne 



(. -I- (^H- f/= f(l + 2.r/ " (12) 



En séparant les parties réelles et purement imaginaires on aura 



20 =- £(l + 2.-^)» -\- e''\ + 2Ay 

 21 o -h I -= 6 1 + 2A)" — e'j + 2Ay, 



e' et A' étant conjugués à £ et ^. Mais cela donne 



£(l H- 2A" J — /) — f'(l + 2 A'' '' [\ + /) = 2/ 



£(i — /) 'j \~ 2A)" db /(i -f 2.-J';"] = j + /) (i — /)/ 

 (i + 2Ay ± /(i 4- 2A'» = fi(i + /). 



Mais, ;/ étant impair, on a 



i'i -\- 2Ay = ± (/ -f 2^'/>», 

 d'où (i + 2.-J)" db (/ + 2A'i)» = fi(i 4- l'). 



Or, la somme au premier membre étant divisible par (i + -^'i, i 

 (/ -|- 2A'i], il faut qu'on ait 



Cl +2.^i)±y + 2.^V=£(i +1)8, 



Ö étant o ou i, ce qui donne 



2^ri i Æ0 + I i / = éj + i)8\ 



il faut donc que (5 ^ i ; en divisant par i + ^ on obtient 



{i—i){A±A'i)-{-ex^e.. 



ex et £2 étant des unités; en substituant ici A = a\ -\- />'i on aura: 



(i — /■; (i Jz i) {en ± ß\ =€2 — il- 



Mais, cette relation n'est pas possible, à moins que ei = £2, ce qui 



donne 



ai zt ,:?! = G 



,:?! = ± ai = ± r. 



Ces valeurs substituées dans (12) donnent 



o -I- > + i)i = £(i H- 2r(i ± /))'• (13) 



