l895- No. II. SOLUTION COMPLÈTE EN NOMBRES ENTIERS ETC. II 



Ce terme est un nombre entier. En dùsposant autrement des facteurs 

 et en remplaçant ii — i par 2^ " " . a, on aura : 



Uu = 2« . na{n — 2) . . .{n — k -\- \) . ? j [au — l>u)r^-^. 



I . 2 . 3 . . . /w' 



D'après le lemme démontré plus haut, i .2.3. . ./' contient le diviseur 

 2 dans une puissance <2'''~^ et par suite, la forme irréductible de la 



2A — 1 



fraction "- r "c contient pas 2 dans le dénominateur. Tous les 



1 . 2 . 3 . . . /' 



autres diviseurs de 1.2.3.../' divisent le produit na{n — 2) . . . (// — /^' + i) 

 et par conséquent, le nombre — ^ est un nombre entier: 



f4 = 2«M, 



ce qui donne 



2« + 2j/ 4- 2« + ^N = 2'' lia {N' étant entier) 



AM ■\- 2N= na, 

 ce qui est impossible, iiq étant impair et > o. 



d'où 2 — 8 Q r2 — -^,2 (^^^j /-3 + 4S = 0, 



ce qui est aussi impossible. 



Donc, r équation 



I + ,1-2 = 25» 



n'admet pas if autres solutions en nombres entiers que x = ± i, ,:r = i, 



quand n est impair et > i. 



De l'impossibilité de réc[uation, quand n est impair et .::>■ i, on 



peut tirer son impossibilité, quand n contient un diviseur impair. Soit, 



en effet 



n = 2'''q 



q étant impair; on aura donc 



I 4- .v2 = 2.^2^î = 2{z^y. 



Mais, d'après le théorème déjà démontré, cette équation n'admet pas 

 de solutions différentes de nb i, cà moins que q = i. Nous venons ainsi 

 de démontrer le théorème suivant: 



Pour que r équation 



I + A-^ = 25« {n> i) 



soit satisfaite par d'autres valeurs entières que x=dii, z=àii, îl 

 faut, que n soit une puissance de 2. 



