1 895- No. II. SOLUTION COMPLÈTE EN NOMBRES ENTIERS ETC. I 5 



Sauf le diviseur j, tous ces nombres ne contiennent que des nombres 

 premiers de la for nie 4k -\- i, parceque chacun des nombres 2'^ -\- i, 

 2^ -\- \,. . .2"^' +1 est une somme de deux carrés premiers entre eux. 



Nous allons maintenant trouver toutes les solutions possibles de 

 l'équation (19). x et y étant impairs, posons x = 2r -{- i, j/ = 20 -f- i 

 ce qui donne 



r 4- (? + if = [r' + (r -f- ifY"' 

 et, les équations (18) étant déduites des équations (8), il faut que 



ç + (^ + i)i = £(;-—(;- + i)if- == e,{i + r{i + i))-""' (20) 



r pouvant être divisible par 2, posons 



a 



r = 2 r^. 

 Nous avons 



(i -^ r{i -\- i)f- = F Jr iQ 

 où 



2''('2'' — l) (2'''- — 2) -''' (^''''\ 



P = I -I- 2^ • «r, — 2 . -^ ^^ '- 23îr,3 4- 4 V- a^^ n, j 2''«r/- 



' 1.2 -11- 1.2.3 -1^ 



rt'jt et bk étant des nombres entiers ou o. 



Ces valeurs substituées dans (20) donnent 



Q + {Q+i)i^e.,[P+iQ). 

 Il faut alors que 



On a donc les cas suivants : 



I) P4-0 = l, 



ce qui donne 



2..«M/.^ + ^\ ^ -^ 2-^«^i;V- + 4 A' (.?, + b,) (^^J 2*'V,''- = o. 



2^ _^ 2^(2^ — 1)2« 1;-, + 2 1' (^A- + /^a) (/,) 2'^- -M«/'/-- 1 = 0. 



Supposons, que « "> i ; le terme général sous le signe de somma 

 tion sera 



