l895- ^'o. IK SOLUTION COMPLKTE EX NOMBRES ENTIERS ETC. 19 



La première valeur -i' = 7 est à rejeter; en effet, nous avons dé- 

 montré, que X ne contient pas d'autres diviseurs premiers de la forme 

 4/' + 3 que 3, ce qui exclut 7^4-1-3. 



On retombe ainsi sur une équation de la forme (21^, ou de la forme 



I I rr 



— 2'' arc tg - -H arc tg - = X' — {22, b) 



5 i' 4 



4) P-(? = -l. 



Cela donne 



_ 2''\2''- — 1) . 22« ;-, 2 — 4J/;-, 3 = _ 2. 



Il faut donc que a = G, z = i et ;\ = ± i et Ion retombe sur 

 r équation de Vcga \2'^. 4 



V. 



Xous venons ainsi de démontrer le théorème suivant. 

 S'il existe des solutions de notre équation (i) différentes de celle 

 (f Eu 1er, elles se trouvent toutes parmi les équations suivantes: 



± 2^ arc tg - 4- arc tg - = ^^ ~ . (17) 



± 2''- arc tg - H- arc tg^ = k—. (y. > o) (21) 



3 y 4 



I I T 



rh 2"- arc tg - + arc tg - = /' — . {22) 



'' S y 4 



Nous allons démontrer, que chacune des ces équations n admet quune 

 seule solution. 



Soient données, en effet, deux solutions différentes de la première 

 équation : 



± 2"- arc tg - + arc tg — = /',— . (24) 



-'■' ^ (v>0) 



I I TT 



± 2^ "^ '' arc tg — 1- arc tg — = X-, — . 

 ^2 ^ y^ ^4 



En éliminant arc tg on retombe sur une équation de la forme 

 rt 2 arc tg — ± arc tg — = A', — . 



'' y, ""y, '4 



2» 



