20 CARL STORMER. • M.-N. Kl. 



Mais, cette équation étant au nombre des écjuations '17), (21'^ et (22). 

 il faut, que j\ = 2, 3 ou 5. Mais alors la condition nécessaire (15) de 

 l'équation (24) 



i4-J'r = 2(i + 22)2^ = 2.52''' (x;= o) 



ne se trouve pas satisfaite. 



L'écjuation (17' n'admet donc qu'une seule solution, et c'est celle 

 que l'on trouve immédiatement, savoir 



2 arc t£^ arc tg — == — (2 O 



De môme, supposons, (|u'il y ait deux solutions de la seconde 



équation 



I I , 7tr , ,> 



± 2'* arc tg h arc tg — = /', — (26) 



3 i'i 4 



■± 2^* ■ •'' arc tg — -f- arc tg — = Å-^ ~, [v > o) 

 j /a 4 



d'où , ^ . I , ,1 , 7ir 



± 2 arc tg — ± arc tg — = X-, — , 

 ^j', ^J2 34 



d'où j, = 2, 3, 5. 



Mais alors, la condition nécessaire (19) pour ([ue l'équation (26) soit 

 satisfaite 



22''(i + j;^2) = 2(1 + 32)2'' = 2 . 102'' 

 OU I -fj',2= 2.52^ (Z>0) 



ne se trouve pas remplie. 



La seule solution est donc celle de Vega, déjà trouvée. 



Enfin, s'il existe deux solutions de la dernière équation (22), il faut 

 comme auparavant que y soit 2, 3 ou 5, ce qui est en contradiction 

 avec la condition (19) correspondante, savoir 



2^\\ 4- J''-) = 2(1 4- 52)2^ = 2 . 262"' 

 ou I 4-j'2 = 2.132''. (x>o) 



L'unicjue solution est alors celle de Machin, que l'on trouve pour 



z = 2: 



I I 7r , s 



4 arc tg — — arc tg — • ^ — (27) 



^ ^ 5 ^239 4 ^ '' 



Les conditions (10) se trouvent vérifiées ici; on a en effet: 



I + 52 = 2. 13 

 I 4-239" = 2 . 134 

 5 — 239 = — 18. 13. 



