I916. No. 15. SYMMETRIRAISONNEMENTER I ELASTICITETSLÆREN. 3I 



§4- 



7. Lad OS saa vise, hvorledes man ved hjælp af sats 6 kan udlede 

 efterfølgende bekjendte theorem : 



Lad L betegne et legeme, som holdes i ligevægt af uendelig smaa 

 kræfter, der alle angriber legemet i punkter af dets overflade. 



Lad videre .v, >' og 2 betegne koordinaterne for et vilkaarlig punkt 

 af L i forhold til et vilk. retvinklet koordinatsystem. 



Betegner da A summen af de algebraiske normalspændinger i nævnte 

 punkt efter henholdsvis tre vilkaarlige paa hinanden lodrette linier eller 

 planer gjennem punktet, saa faaes: 



9-A . a^A , 3-A 



For at bevise denne sætning trænger vi følgende bekjendte hjælpe- 

 sætninger: 



Hjælpesats a. Et legeme bevæger sig paa vilk. vis og er paa- 

 virket af vilkaarlige til bevægelsen svarende ydre kræfter. 



Lad X, y og z være tre paa hinanden lodrette pile gjennem et vilk. 

 valgt punkt p af legemet. 



Lad ved et hvilketsomhelst tidspunkt Sx, — Tt.« og — Txz betegne de alg. 

 projektioner paa henholdsvis .r, jy og s af den spec, spænding i /> efter .v, 

 og videre Sy, — Xy^ og — Xyx de alg. proj. paa henholdsvis _\\ z og .v af den 

 spec, spænding i p efter y, og endelig Sz, — t^x og — r^y de alg. projektioner 

 paa henholdsvis z, x og y af den spec, spænding i p efter z. 



Betegner da P en vilk. gjennem p gaaende pil med retningskosinusserne 

 a, b og c \ forhold til henholdsvis axepilene x og y og z, og betegner 5 

 den alg. projektion paa P af den spec, spænding i p efter P, saa faaes 



s = SxO*- -\- Syb- -\- s^c- —'2Tgab — 2xxbc — '2ryca .... (30) 

 hvor 



T^ 



T rz T- 



T^z ^ yx ^xy 



(31) 



Satsen indsees ved at anvende d'Alemberts princip paa et uendelig 

 lidet tetraeder, der udskjæres af legemet ved 4 paa henholdsvis .v, y, z 

 og P lodrette planer. 



Man ser at Sx, Sy, s^ og .s blir de alg. normalspændinger ip efter 

 henholdsvis de til x, y, z og P horende rette linier, eller for de paa hen- 



