1914- No. 10. PROBLEME ÜBER VERÄNDERUNGEN VON ZEICHENREIHEN. 5 



Wären hier zwei Reihen X und Y äquivalent, oder könnte man 

 solche Reihen Ci , Co, • ■ • • , Cr finden, daß: 



Cq '"^ Cl '"^ Co '■^ . . . . -^ Cr ^^^ Cr+ 



wo Co und Cr+i beziehungsweise A' und Y bedeuteten, dann enthielten 

 ja zwei beliebige der Reihen C, die alle als verschieden betrachtet werden 

 können, gleichviele Zeichen. 



r mufe folglich unter einer berechenbaren Grenze liegen, und die 

 Aufgabe ist hierdurch gelöst. 



b) Ak ent/iä/i hei jedciii Wert von k mehr Zcichcti als B^. 



Die Reihen A sollen außerdem so beschaffen sein, daß zwei beliebige 

 etwaige Unter reihen A^ und J, ei}ier beliebigen Zeichenreihe innner bei 

 beliebige /i Werten von p und q ganz außerhalb einander liegen müssen. 



Wir setzen mit anderen Worten voraus, dafa keine Reihe A eine 

 Unterreihe einer anderen Reihe A bilden kann, während ferner zwei 

 beliebige etwaige Unterreihen A^ und A^ einer Zeichenreihe keinen 

 gemeinsamen Teil besitzen dürfen. 



Unter einer irreduktiblen Reihe wollen wir hier jede Reihe, die keine 

 Unterreihe ^4 besitzt, verstehen. 



Der Fall b) des erwähnten Problems läfst sich nun durch folgende 

 Bemerkung lösen : 



Durch wiederholte Reduktionen einer beliebig gegebenen Zeichen- 

 reihe S, wo man bei jeder Reduktion eine Unterreihe A der gegebenen 

 Reihe oder von der durch die früheren Reduktionen aus ihr schon 

 erhaltenen Reihe durch ihre korrespondierende Reihe B ersetzt hat, kann 

 man nur eine einzige irreduktible Re/he erhalten. 



Diese Behauptung mufs jedenfalls, wenn S nur ein einziges Zeichen 

 enthält, richtig sein. 



Ist aber die Behauptung, wenn die Anzahl der Zeichen von 6' kleiner 

 als eine Zahl t ist, richtig, dann mufe sie, wenn die Anzahl der Zeichen 

 von S gleich / ist, ebenfalls richtig sein, was sofort zu sehen ist. 



Ist nämlich >S hier irreduktibel, so ist ja die Sache klar. Ferner auch, 

 wenn -8' nur eine einzige Unterreihe A enthält, d. h. 



wo das Zeichen :^^ die Identität bezeichnen soll. S kann dann nur auf 

 dieselbe irreduktible Reihe wie MBkX reduziert werden. 



Schliefslich denken wir uns, dafa S auf zwei verschiedene Weisen 

 durch allmähliche Reduktionen auf die zwei irreduktiblen Reihen P be- 

 ziehungsweise Q reduziert ist. 



