AXEL THUE. M.-N. Kl. 



Auf die erste Weise sei S durch eine einzelne Reduktion zuerst auf 

 eine Reihe H reduziert, und H ferner nach einer Reihe von Reduktionen 

 auf F. 



Auf die zweite Weise sei S durch eine einzelne Reduktion zuerst auf 

 eine Reihe K reduziert, und K ferner nach sukzessiven Reduktionen auf Q. 



Sind die zwei erstgenannten Reduktionen mit einander identisch, d. h. 

 H^K, so ist die Sache sofort klar. 



Im entgegengesetzten Falle können wir schreiben : 



S = MAj,LA^N 

 H=MBpLAqN 

 K=MApLB,X 



wo eine ödere mehrere der Reihen M, L und N gern fehlen können. 



Aber H und Ä' lassen sich, da sie weniger Zeichen als t enthalten, 

 nur auf dieselbe irreduktible Reihe wie MBpLBqN reduzieren. D. h. 



P~Q. 



Da zwei beliebige ähnliche Reihen und also auch zwei beliebige äqui- 

 valente Reihen durch wiederholte Reduktionen der erwähnten Art nur auf 

 eine einzige irreduktible Reihe sich reduzieren lassen, ist hierdurch unser 

 Problem gelöst. 



Statt des Problems (I) kann man folgende noch allgemeinere Fra^e aufstellen: 



Indem P und Q zwei beliebig gegebene Zeichenreihen bedeuten in denen, jedes 

 Zeichen von jedem Zeichen der Reihen A und B verschieden ist, gilt es, eine Methode zu 

 finden, nach der sich immer entscheiden läßt, ob einige der Zeichen von P und Q durch 

 solche Zeichenreihen ersetzt werden können, dafs die auf diese Weise aus P und er- 

 haltenen Reihen P' und Q' äquivalent werden. 



Man setzt dann voraus, daß einander gleiche Zeichen nur durch einander gleiche 

 Reihen ersetzt \verden. 



Man kann das Problem (I) auch auf eine andere Weise verallgemeinern. 



Könnte man die eine von zwei beliebigen Zeichenreihen P und O aus der anderen 

 dadurch erhalten, daß man hier statt einer Unterreihe A' eine andere Reihe B' schriebe, 

 indem A' und B' so beschaffen wären, daß man statt der Zeichen von zwei korrespon- 

 dierenden Reihen A und B solche Reihen schreiben könnte, daß A und B hierdurch in A' 

 beziehungsweise B' übergingen, dann könnten wir — mit einer neuen Bedeutung des 

 Wortes — P und Q als ähnliche Reihen rechnen. 



In Übereinstimmung hiermit könnten wir äquivalente Reihen definieren und die Frage 

 stellen: wie man immer entscheiden könnte, ob zwei gegebene Reihen äquivalent sind, oder 

 ob man statt der- Zeichen zweier gegebenen Reihen solche Reihen schreiben könnte, daß 

 die dadurch erhaltenen Reihen äquivalent werden. 



Wir wollen nun einen wichtigen Spezialfall des Problems (I) behandeln. 

 Wir wollen die Begriffe Ähnlichkeit und Äquivalenz von neuem 

 definieren. 



