1914- No. 10. PROBLEME ÜBER VERÄNDERUNGEN VON ZEICHENREIHEN. 21 



In Bezug auf i? haben wir also folgende r Äquivalenzen: 



{X,l\rXoY, = Yao.iYiX,)'" 

 {X\Y,r{X2Y2rXsY, = YsX,{Y2X2r{Y,X,r 



(7) 



Wir bemerken hier, daß A\ und i? nach links mit A% anfängt. 

 Fügen wir zu (7) alle möglichen Äquivalenzen 



Bd = ÖR 



wo Ô keinem der Zeichen Yi, Yo, ■••, iV und A^ gleich ist, so bildet 

 das dadurch erhaltene S3-stem, welches wir durch H bezeichnen wollen, 

 ein in Bezug auf R vollkommenes System. 



Wir werden nun beweisen, daß H in Bezug auf die Nullreihe R 

 auch ein vollständiges -System ist, oder daß in Bezug auf H immer 



Rz ^ zR , 



wenn z ein beliebiges Zeichen bedeutet. 



Wir brauchen dies aber nur zu beweisen für den Fall, daß z einem 

 der Zeichen Y^ , Y2, ■ ■ •• , i r oder Xr gleich ist. 



Wir wollen jedoch zuerst beweisen, daß in Bezug auf H oder (7) 



(XiTir . . . (X, Y,r'[x,+ir,+,j'" ^ ; i^+iX,,.,7"(rÄV'' • • • {y,x,t^ • • • (s) 



wo m beliebig ist. 



Der Satz gilt nach (7) für m^Q, q = l. Gilt aber der Satz für 

 q^li, m^O und für q = Ji , }>i = k , so gilt er nach (7) auch für 

 q^h , m ^k -\- 1 . 



Denn 



(XiYi)'" . . . (x„r,r[X/.+irA+i;'"+\= {xa\r • • • {XnY,)[Xu^xYu^;;"x,+xYn+i + 

 + ir;,+iZ;,+i;'"(rÄr--.(YiZirr,+iiv, ^ 



^ [ Yä+iX.+iJ'" 1^,4-iXä+i ( YäX,P . . • ( YiXi)'" = • 

 [ Ya+iX^+ij^^+^ ( YÄf" . . . ( YiXir 



(8) gilt also auch für q = h , m ^ n oder für q = k -j- \ , m = 0. 

 Hierdurch ist (8) bewiesen. 



