KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Le cas peut alors se presenter que le resultat défini pour un système 

 {Ki-\- Kl'), outre les résultats R et R' correspondants à [Ki) et [Ki] chacun 

 séparément, contienne également un résultat Rg produit par les svstémes 

 {K\S et {K}') entre eux, et dont le nombre correspondant peut être déterminé 

 suivant le § i. 



Nous voulons démontrer que, dans ce cas, tout nombre primitif se rap- 

 portant à R peut s'écrire: 



V k 



i, j, k étant indépendants l'un de l'autre et parcourant les nombres 1, 2, 3. 



^S^Aijpiipi- est le nombre se rapportant à Rq et pouvant être déterminé 



suivant le § i. 



Si / peut parcourir les valeurs de 1 à r, T sera une fonction entière 

 de pli (/= 1, 2 • • • r et i =1,2, 3), où chaque pu n'existe qu'au ler ou au 

 2« degré, et où les coefficients sont indépendants de pu. 



§ 3- 



On pourrait maintenant se procurer graduellement des nombres appar- 

 tenant à des problèmes de plus en plus difficiles de la même manière 

 qu'en passant du § i au § 2. 



Or l'on peut indiquer un principe géométrique direct pour trouver 

 la nature de la fonction T des nombres spéciaux de Pliicker. 



On peut en eftet donner, jiar induction, une démonstration du principe 

 général suivant: 



S/ un résultat R, défini par les courbes K\- • • Kr, en ce qui concerne 

 la courbe Ki, est entièrement déterminé par ni éléments distincts (points ou 

 tangentes), tout nombre primitif se rapportant à R et dépendant des nombres 

 spéciaux de Pliicker de la courbe Ki, sera en général une fonction du nf""' 

 degré de ceux-ci. 



Posons, en effet, qu'à la courbe donnée Ki on en ajoute une nouvelle 

 Kl' ; on pourra alors, sur la courbe {Ki -\- Kr) répartir ainsi les /// éléments: 



D'abord tous les ni éléments sur la courbe Ki seulement, 

 puis ;// — 1 sur Ki et 1 sur ÄV 



enfin tous les ni éléments sur la courbe Kr seulement. 



Suivant la démonstration par induction, on peut établir d'après cela 

 une identité de fonction qui conduit à la détermination du caractère de la 

 fonction T. 



