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KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. 



M.-N. Kl. 



Ex. Cherchez l'ordre du Heu géométrique des points d'où la somme 

 des carrés de «i normales à la courbe Ki, cco à la courbe K2 etc., Or à la 

 courbe Kr est constante. On trouvera le nombre égal à un produit: 



:i) 



T=2 Y\ 



Ni (i V,— l)...(A^,-.a,+ l) 

 1. 2...av 



ou en resume: 



T=2Yl 



où Ni est le nombre de toutes les normales qui peuvent être tirées d'un 

 point à la courbe K,. 



On pose maintenant dans la forme analytique le problème dont le but 

 est de chercher le lieu géométrique. Comme il n'est toutefois question ici 

 que de montrer le procédé, nous nous contenterons de 2 courbes données 

 Kl et K2 dont l'ordre et la classe sont iiii, fi^ et /«2» "2, en établissant 

 également que a^ = ao = \. 



Les équations des courbes Ki et K.2 étant respectivement /\ = o et 

 /"2 = o> et {xi Vi), (.Vo yo) étant les coordonnées des pieds des normales 

 sur les courbes respectives K^ et Ko, 



{x,y) étant le point mobile du lieu géométrique cherché, 



nous avons alors à poser les systèmes d'équation suivants:' 



(a) 



(b) 



^2 {x2 y-i) = o 



>2 



X.> 



dF\ 



dxo 



(c) 



(.r — XiY -h iy-yif + (-V - .v,)2 + {y —y.^)-^ = k. 



Il faut remarquer ici que parmi les ///i"- systèmes de valeurs Xiy^ 

 du système (a), les )iii" — (;;/i -]- Wi) sont indépendants de .v et de y, 

 comme correspondant en effet aux lignes de jonction aux ni{^ — {iiii -\- iii) 

 points singuliers (les points doubles étant comptés 2 fois et les rebrousse- 

 ments 3 fois), qui remplissent également le S3'stème (a). 



Il en est de même dans le système (b), où ///o"-^ — {m-z + >h) systèmes 

 de valeurs (x-, y^) sont indépendants de .v et de y. 



Chacun de ces systèmes de valeurs fournit, placé en (c), une courbe 

 spéciale, savoir celle que l'on obtient en substituant, dans le problème 

 posé, à l'une des courbes données (ou aux deux) un point quelconque de ses 

 points singuliers. 



