1914- No. 12. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 9 



Toutes ces courbes ainsi obtenues ne peuvent pas entrer en ligne de 

 compte, une ligne droite passant par un point singulier n'étant pas 

 considérée comme une normale. 



Ayant maintenant vu que tout aussi bien l'ordre de la courbe com- 

 posée déterminée par les S3stèmes d'équation (a) (b) (c) que des courbes 

 dont nous ne devions pas tenir compte, ne dépend que de /;/i ///o, mais que 

 le nombre des courbes extraites est dépendant de )i\ ii.>, l'ordre cherché 

 doit en conséquence être dépendant de /;/i n^ iii-> u.,. 



Nous allons maintenant passer à la démonstration proprement dite 

 de la validité de la formule (i). 



Ceci est une démonstration par induction, qui réclame que l'on ait 

 démontré que l'ordre T, lorsque cq = ao = ■ • ■ «,. = 1 est: 



l.r 



La démonstration en est effectuée par la détermination directe de 

 constantes, en choisissant comme courbes données des points et des 

 lignes droites. 



On va démontrer maintenant que la formule (i) est applicable à 

 ai-\- \, c'est à dire lorsqu'on prend «/ -|- 1 normales à K, , en supposant 

 que la formule est applicable à ui et à toutes les valeurs inférieures. 



Nous pouvons toutefois, au sujet de la validité de la formule, lors de 

 la démonstration, admettre que le nombre des courbes d'où l'on prend 

 ai ou un plus petit nombre de normales est indéterminé, pourvu toutefois 

 que le nombre des courbes d'où l'on prend un plus grand nombre de nor- 

 males que ai, est un nombre invariablement déterminé. 



Si maintenant l'on remplace la courbe Ki par la courbe Ki', et si l'on 

 donne aux ordres correspondants aux s^'stèmes [Ki -f- Kr), [Ki) et [Ki-) 

 la dénomination de ^Kt-^-Kr > ^Ki ^^ ^Kr ^ ^^ obtient, lorsque les 

 ai -f- 1 normales sont réparties sur [Ki -f- Kr): 



^Ki^Kv ^ ^Ki + ^Â'r + 



■ +^'11 (;!')[(;:f)(t)-(/iO("' 



1. (/-1). (l~i).r ■- 



le facteur concernant Ki et Kr se trouvant posé en dehors du produit total. 

 On peut démontrer que le nombre T peut être déterminé avec deux 

 constantes indéterminées. En introduisant, au lieu de Tj^^ , l'expression 

 que l'on devrait avoir, si la formule donnée est juste, et en examinant si 

 l'identité ci-dessus est réalisée, on trouvera que tel est bien le cas à l'aide 

 de la proposition d'EuLER concernant les coefficients binômes. Or, comme 



