12 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



de Kl et Ä'o- Le dernier nombre est toutefois primitif par rapport tant 

 à Kl qu'à K2. 



Le nombre des tangentes doubles d'une courbe est naturellement aussi 

 de seconde espèce par rapport à ladite courbe. 



Le nombre des courbes d'une famille de courbes dépendantes de // 

 paramètres, en contact n fois — c'est à dire en contact en ;/ points différents 

 — avec une courbe donnée, est d'espèce // par rapport à la courbe. 



§ 5. Théorèmes généraux. 



Parmi les 6 nombres de Plïicker, l'ordre, la classe, le nombre de 

 rebroussements, le nombre d'inflexions, le nombre de points doubles, et le 

 nombre de tangentes doubles, les 4 premiers, comme on l'a déjà dit, sont 

 primitifs; mais pas les 2 derniers. Les 4 premiers seront ci-après dénom- 

 més les nombres spéciaux de Pliickcr. 



Théorème i. 67 //// iio)iibrc N, défini par certaines courbes, est pi-iniitif 

 par rapport à une certaine courbe K, et s'il est seidonent dépendant des 

 nombres de Pli'icker de cette courbe, tant que les autres courbes dont N dé- 

 pend éventuellement ne se trouvent pas modifiées, le nombre N est une fonc- 

 tion linéaire lionwgène des nombres spéciaux de Pliicker de cette courbe K. 

 Comme il existe toujours entre les 4 nombres spéciaux de Pli'icker une rela- 

 tion linéaire homogène, N doit être une fonction linéaire homogène de j 

 d'entre eux, p. ex. de l'ordre, de la classe et du nombre de rebroussements. 



Démonstration: ;;/, étant l'ordre de la courbe, ;/, sa classe et s, le 

 nombre des rebroussements, le nombre est alors — par suite de l'hypo- 

 thèse et de la relation générale entre les 4 nombres spéciaux de Plïicker, 

 — une fonction de ;;/, n et s .• 



.V = /(/;/,;/, 5). 



En outre, d'après l'hypothèse, N est un nombre primitif Par conséquent, 

 l'équation fonctionnelle 



f{mi -f m.>, ni -f //o, .s'i -\- s.,) ==f(mi, n^, Sy) -\- f{mo, ii-i, s.>] 



subsiste pour ' toutes les triples de valeurs uiy, ny, si et m.^, no, s-,, qui 

 sont possibles pour les courbes algébriques. 



C'est maintenant une proposition connue, qu'une fonction qui satisfait 

 à cette équation pour toutes les valeurs de nii, ni, Si, m.,, no, s.,, est une 

 fonction linéaire homogène. Cette proposition ne peut toutefois pas, 

 rigoureusement, être appliquée ici sans autre façon ; car ce ne sont pas 

 tous les systèmes de 3 nombres, m, n, s, qui peuvent être l'ordre, la classe 



